Định lý Thăng dư của h m f tại điểm a l hệ số c-1 của khai triển Laurent tại điểm đó. Resf(a) = c-1 () Chứng minh Khai triển Laurent h m f tại điểm a +∞ +∞ c ưn 1 f (ζ ) + ∑ c n (z ư a ) n với cn = f(z) = ∑ ∫ (ζ ư a ) n +1 dζ , n ∈9 n 2 πi Γ n =1 ( z ư a ) n =0 So sánh với công thức () suy ra công thức () | ương 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng Dư Đinh lý Thăng dư của hàm f tại điểm a là hệ số c-1 của khai triển Laurent tại điểm đó. Resf a Chứng minh Khai triển Laurent hàm f tại điểm a Vc z -a n với cn Ị f Z dZ n e9 n 0 n 2ni Ị Z-a n 1 s f z V- n 1 z - a n So sánh với công thức suy ra công thức Hê quả Cho điểm a là cực điểm cấp m của hàm f _ . 1 d m-1 Resf a z 4 . lim d z - a m f z V m -1 z a dz m-1 I Chứng minh Khai triển Laurent tại cực điểm a cấp m f z z - a m z-a V cn z - a n n 0 Suy ra z - a mf z c-m . c-1 z - a m-1 c0 z - a m . z - a mf z m-1 m - 1 c-1 m m-1 .2c0 z - a . Chuyển qua giới hạn hai vế lim z - a mf z m-1 m - 1 c-1 z a I Ví du Hàm f z ẹ z2 1 3 có hai cực điểm cấp 3 là i . 1 . Resf i 2- lim e2 y z i 3 1 2 l z i ez 6ez 3 z i 4 -12 I ei 3 - 2i z i 5 z i 16 Đinh lý Cho hàm f có các cực điểm hữu hạn là ak với k V Re sf ak Resf 0 k 1 Chứng minh Gọi rk với k là các đường tròn z - ak Rk đủ bé để chỉ bao riêng từng điểm ak và r là đường tròn z R đủ lớn để bao hết tất cả các đường tròn rk. Theo công thức tích phân Cauchy Ịf z dz VỊf z dz - Ịf z dz r k 1 rk r- I Chuyển vế sau đó chia hai vế cho 2ni suy ra công thức Chương 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng Hê quả Cho đường cong r đơn kín trơn từng khúc định hướng dương và hàm f liên tục trên r giải tích trong Dr ngoại trừ hữu hạn cực điểm ak e Dr với k f z dz 2ni T Re sf ak r k 1 sin zdz Ví dụ Tính I r z2 1 z 3 với r là đường tròn z 2 định hướng dương Hàm f z có hai cực điểm z i nằm trong miền Dr và một cực điểm z -3 nằm ngoài miền Dr. sinz Resf -i lim z 1 z - i z - 3 Resf i lim ------ ------ z-i z i z - 3 sin -i - 2 6i sin i - 2 - 6i I 2ni Resf -i Resf i - 3 . ỹsin i Đ8. Thặng dư Loga Cho hàm f giải tích và khác không trong B a R - a liên tục trên r dB a R . Tích phân ResLnf a dz 2ni r f z gọi là thặng dư loga của hàm f tại điểm a. Theo định nghĩa trên f z ResLnf a Resg a trong đó g z Ln f z v 7 với z e B a R - a f z Đỉnh lý Với các kí hiệu như trên .
