PD PD F- XC h a n g e Vi e w F- XC h a n g e Vi e w er er ! O W N y bu to k lic C m C lic k to bu y N .c O W w .d o c u -tr a c k ! w o .d o c u -tr a c k Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− ∃ M 0 : ∀ z ∈ Γρ , | g(z) | | Chương 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng 3 M 0 V z e rp g z M I g z dz Mnp rP . 0 Tham số hoá cung rp z b peil với t e n 0 . Tính trực tiếp J -1 dz - niResf b rp Thay 2 và 3 vào 1 suy ra công thức 2 3 I Ví du Tính tích phân I 1 x - 1 X2 1 2 dx Phân thức z -1 X X f z . - có cực điểm kép a i z2 1 2 thuộc nửa mặt phẳng trên Suy ra í z -1 Resf i liml ỳ zii z i 2 1 z i 2 2 z -1 1 z i 3 z r 41 I 2niResf i - n 2 Hê quả 2 Cho f z là phân thức hữu sao cho bậc của mẫu số lớn hơn bậc tử số ít nhất là một đơn vị có các cực điểm ak với k nằm trong nửa mặt phẳng trên và có các cực điểm đơn bj với j nằm trên trục thực. Kí hiệu g z f z eiaz ta có p q I f x eiaxdx 2ni Resg ak ni Resg bj k 1 j 1 Chứng minh Lập luận tuơng tự nhu chứng minh hệ quả 1. ix sinx 1 e Ví du Tính tích phân I I dx Im I - dx x 2 x 0 Phân thức f z 1 có cực điểm đơn b 0 thuộc trục thực và Resg 0 lim eiz 1 z . z i0 Suy ra I 2 Im ni 2 Hê quả 3 Cho đuờng cong rR z R Rez a và hàm f giải tích trong nửa mặt phẳng D Rez a ngoại trừ hữu hạn điểm bấ t thuờng và lim f z 0. V À 0 lim I f z e dz 0 rR ương 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng Dư Chứng minh Suy ra từ định lý bằng cách quay mặt phẳng một góc n 2. I Hê quả 4 Với các giả thiết nhu hệ quả 3 kí hiệu g z eÀzf z V À 0 I À feÀzf z dz VResg ak 2 ni Rea i Re ak Chứng minh Kí hiệu r rR u a - ip a ip với R đủ lớn để bao hết các cực điểm của hàm f z Theo công thức 1 1 1 a lp IeÀzf z dz íf z eÀzdz íeÀzf z dz V Resg a 2ni r 2n r 2n 4 Retr a Suy ra ip 2n JỊeÀzf z dz VResg ak - íf z eiÀzdz Cho p và sử dụng hệ quả 3 chúng ta nhận đuợc công thức Bài tập chuơng 4 1. Tìm miền hội tụ và tổng của các chuỗi sau đây. 1 - nin2n a. V ----- b. V n 0 z 2 n n í z i n 1 2 c. V n 1 in 2 z i n n 2. Tìm miền hội tụ của chuỗi Marlaurin của các hàm sau đây. z2 2z 19 a. z 3 2 2z 5 d. 1 - z e-2z z 3z 1 b. . 7 c. _ 4 z2 z 2 3 e. sin3z f. ln 1 z2 3. Tìm miền hội tụ của chuỗi Taylor tại điểm a của các hàm sau đây. a. a 1 z 2 1 b. 6 5 a 3 c. 1 a 3i d. sin z2 4z a -2 e. -1 a
