Biến Đổi Fourier V Biến Đổi Laplace η(t) = 1 0 δ(t, h) = t ≥ 0 gọi l h m nhảy đơn vị t h, Đạo h m gốc Giả sử h m f v các đạo h m của nó l các h m gốc. f’(t) ↔ zF(z) - f(0) v ∀ n ∈ ∠, f(n)(t) ↔ zn F(z) - zn-1f(0) - . - f(n-1)(0) () Chứng minh f’(t) ↔Dịch chuyển gốc Nếu h m f khả tích tuyệt đối thì với mọi số thực α h m f(t - α) cũng khả tích tuyệt đối. () ∀ α ∈ 3, f(t - α) | ương 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace n t jo t Q gọi là hàm nhảy đơn vị ỗ t h 1 n t - n t - h h 0 t h gọi là hàm xung h 0 t 0 t h ỗ t lim ỗ t h u 1 0 gọi là hàm xung Dirac h o 10 t 0 Đinh lý Hàm xung Dirac có các tính chất sau đây. 1. í ỗ t dt 1 tt 2. Với mọi hàm f liên tục tại 0 í f t ỗ t dt f 0 tt 3. V t e t 3 n t í Ỗ T dT í ỗ t 0 T dT và ỗ t n t Chứng minh 1. í ỗ t dt í lim ỗ t h lim í ỗ t h dt 1 h 0 0 2. í f t ỗ t dt í f t lim ỗ t h dt 1 h lim1 í f t dt f 0 h J 3. Xét tích phân t n t h í ỗ T h dT 0 t 0 l h Chuyển qua giới hạn n t lim n t h h 0 Từ đó suy ra các hệ thức khác. I Cho các hàm f g e F 3 V . Tích phân V t e 3 f g t í f T g t T dT gọi là tích chập của hàm f và hàm g. Đinh lý Tích chập có các tính chất sau đây. 1. V f g e L1 f g e L1 và f g 1 f 1 g 1 2. V f g e L1 f g g f 3. V f e L1 n C 3 V f ỗ ỗ f f 4. V f g h e L1 À e V Àf g h Àf h g h Chứng minh 1. Do hàm g khả tích tuyệt đối nên bị chặn trên 3 V t T e 32 f T g t - T g f T Do f khả tích tuyệt đối nên tích phân suy rộng f g t hội tụ tuyệt đối và bị chặn đều f g 1 f ff T g t-T dTdt flf T l flg t-T ldt dT f 1 g - - 2. 3. V t e 3 f ỗ t Jf T g t - T dT Jf t - O g O de g f t - - h f f t - T lim Ỗ T h dT lim1 f f t - T dT f t h Q h Q h - Q V t e 3 f g t 4. Suy ra từ tính tuyến tính của tích phân I Đ2. Các bổ đề Fourier Bổ đề 1 Cho hàm f e L1. Với mỗi f e 3 cố định kí hiệu fx t f t - x với mọi t e 3 Khi đó ánh xạ o 3 L1 f fx là liên tục theo chuẩn. Chứng minh Ta chứng minh rằng V Q 3 ỗ Q V x y e 3 x - y ỗ O x - O y 1 Thật vậy Do hàm f khả tích tuyệt đối nên 1 V Q 3 N Q f lf t ldt 4 ltl N Trong khoảng -N N hàm f có hữu hạn điểm gián đoạn loại một a1 - N a2 . am N với A Max ak - ak-1 k và trên mỗi khoảng con ak-1 ak hàm có thể thác triển thành hàm liên tục đều V Q 3 ỗ Q x - y ỗ f x - f y 2mA Từ đó suy ra ước lượng x - O y 1 f If t - x - f t - y dt - flf t - x - f t - y dt ỵ f t - x - f t - y dt ltl N k 1 ak_ 1 Với mọi À t x e 3 X 3 X 3 kí hiệu ương 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi .
