Tham khảo tài liệu 'giải bài toán theo phương pháp xuống thang', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | PHƯƠNG PHÁP XUỐNG THANG SỐ vô tỉ nào được biết sớm nhất Dĩ nhiên là V2 . Chúng ta không biết chính xác ai là người đầu tiên chứng minh sô này là vô ti. Cách chứng minh đó đại khái như sau Cách chứng minh thứ nhât Giả sử số V2 là hữu tỉ. Về mặt hình học điều đó có nghĩa là Với đường chéo hình vuông có độ dài c và cạnh cúa hình vuông đó có độ dài a tìm được một đoạn thảng độ dài d làm đơn vị và những số nguyên m. n sao cho c dm a dn tức là V2 . g c Chúng ta đánh dấu m - 1 điểm trên đường chéo AC và n -1 điểm trên cạnh DC chia những đoạn thẳng này thành các phần bằng nhau có độ dài d. Trên AC lấy AK AD trên CD lấy Hình DE CK h. . Ta chúng minh ADAC AKEC. Tam giác DAC và tam giác KEC có CK CD Góc c chung tỉ số 22- Vì KC c - a EC 2a - c nên CE CA CK2 c2 a2-2ac 2 2 . CK2 3a2-2ac 1 CD2 CE2 c2 4a2-4ac CE2 6a2-4ac 2 CA2 Vậy tam giác KEC đồng dạng với tam giác vuông cân DAC. Chúng ta có thể lại tiếp tục dựng trên các cạnh của nó AK E C vuông cân dựng tiếp AK2E2C vuông cân . Quá trình này có thể tiếp tục mãi và AKjEjC càng ngày càng nhỏ với j càng lớn . Nhưng mỗi một lần như vậy các điểm Kj và Ej đều sẽ rơi vào các điểm chia ban đầu của các đoạn AC và CD. Mà nhũng điểm chia này là hữu hạn còn số AKjEjC là vô hạn Chính mâu thuẫn này chúng minh tính vô tỉ của V2 . Hàng thế kỉ trôi qua. và xuất hiện cách chứng minh đại số ngắn gọn hơn. 24 Cách chứng minh thứ hai Tính vó tỉ của V2 có nghĩa là phương trình x 2y không có nghiệm là những sớ tự nhiên dương X y. Giả sử ngược lại có thể có các nghiệm là những cập số tự nhiên dương và X m y n là một trong những nghiệm đó. Từ phương trình ta nhận thấy m là sô chẩn. Đật m 2m m e N và thay vào phương trình ta có n2 2m2 tức là X n y m cũng là nghiệm. Thêm nữa ta nhận thấy n m m Ị n . Bây giờ n lại là sô chăn đặt n 2nI ta có mf 2nf . vậy X ni y H nghiệm của phương trình và ni n It nt . Tiếp tục quá trình này và sẽ nhận được những nghiệm càng ngày càng nhỏ. Nhưng ở đây đã xuất hiện mâu thuẫn vì tất cả các số m n ni n . là các số tự .
