Tập hợp các đỉnh bậc lẻ VO(G)={B, G, H, K} và tập hợp các phân hoạch cặp là P={P1, P2, P3}, trong đó P1 = {(B, G), (H, K)} d(P1) = d(B, G)+d(H, K) = 4+1 = 5, P2 = {(B, H), (G, K)} d(P2) = | CHƯƠNG IV ĐÒ THỊ EULER VÀ ĐÒ THỊ HAMILTON Gt Tập hợp các đỉnh bậc lẻ VO G B G H K và tập hợp các phân hoạch cặp là P P1 P2 P3 trong đó P1 B G H K d P1 d B G d H K 4 1 5 P2 B H G K d P2 d B H d G K 2 1 3 P3 B K G H d P3 d B K d G H 3 2 5. m G min d P1 d P2 d P3 3. Do đó Gt có được từ G bằng cách thêm vào 3 cạnh B I I H G K và Gt là đồ thị Euler. Vậy hành trình ngắn nhất cần tìm là đi theo chu trình Euler trong GT A B C D E F K G K E C J K H J I H I B I A. . Định lý Đồ thị có hướng liên thông yếu G là đồ thị Euler khi và chỉ khi mọi đỉnh của G đều có bậc vào bằng bậc ra. Chứng minh Chứng minh tương tự như chứng minh của Định lý và điều kiện đủ cũng cần có bổ đề dưới đây tương tự như ở Bổ đề . . Bổ đề Nếu bậc vào và bậc ra của mỗi đỉnh của đồ thị có hướng G không nhỏ hơn 1 thì G chứa chu trình đơn. . Hệ quả Đồ thị có hướng liên thông yếu G là nửa Euler mà không là Euler khi và chỉ khi tồn tại hai đỉnh x và y sao cho dego x degt x 1 degt y dego y 1 degt v dego v Vve V v x v y. Chứng minh Chứng minh tương tự như ở Hệ quả . . ĐƯỜNG ĐI HAMILTON VÀ ĐÒ THỊ HAMILTON. Năm 1857 nhà toán học người Ailen là Hamilton 1805-1865 đưa ra trò chơi đi vòng quanh thế giới như sau. Cho một hình thập nhị diện đều đa diện đều có 12 mặt 20 đỉnh và 30 cạnh mỗi đỉnh của hình mang tên một thành phố nổi tiếng mỗi cạnh của hình nối hai đỉnh là đường đi lại giữa hai thành phố tương ứng. Xuất phát từ một thành phố hãy tìm đường đi thăm tất cả các thành phố khác mỗi thành phố chỉ một lần rồi trở về chỗ cũ. Trước Hamilton có thể là từ thời Euler người ta đã biết đến một câu đố hóc búa về đường đi của con mã trên bàn cờ . Trên bàn cờ con mã chỉ có thể đi theo đường chéo của hình chữ nhật 2 x 3 hoặc 3 x 2 ô vuông. Giả sử bàn cờ có 8 x 8 ô vuông. Hãy tìm đường đi của con mã qua được tất cả các ô của bàn cờ mỗi ô chỉ một lần rồi trở lại ô xuất phát. Bài toán này được nhiều nhà toán học chú ý đặc biệt là Euler De Moivre Vandermonde . Hiện nay đã có nhiều lời giải và .
