Bài 12: Cho ánh xạ tuyến tính φ: V → V. Chứng minh rằng: Nếu φ2 = φ thì V = Imφ ⴲ Để c/m: V = Imφ ⴲ Kerφ, ta cần c/m: V = Imφ + Kerφ Imφ ⋂ Kerφ = {θ}C/m: V = Imφ + Kerφ V ⊂ Imφ + Kerφ V ⊃ Imφ + Kerφ | Bài 12 Cho ánh xạ tuyến tính ọ V V. Chứng minh rằng Nếu ọ2 ọ thì V Imọ e Kerọ. Giải Để c m V Imọ e Kerọ ta cần c m V Imọ Kerọ Imọ n Kerọ 0 C m V Imọ Kerọ V c Imọ Kerọ V Imọ Kerọ Dễ thấy Imọ c V Kerọ c V Imọ Kerọ c V. 1 Ta xét Vxe V x ọ x x - ọ x trong đó ọ x e Imọ. Vậy Imọ n Kerọ 0 . Mặt khác ọ x - ọ x ọ x - ọ ọ x ọ x - ọ x 0 x - ọ x e Kerọ. Do đó x e Imọ Kerọ V c Imọ Kerọ. 2 Từ 1 2 suy ra V Imọ Kerọ. I C m Imọ n Kerọ 0 Giả sử y Imọ n Kerọ y e Imọ y e Kerọ Từ suy ra 3x e V ọ x y Ta có y ọ x ọ ọ x ọ y 0 Do H Từ l ll nên V Imọ e Kerọ.
