CÂY VÀ CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ Đồ thị vô hướng liên thông không có chu trình gọi là cây. Khái niệm cây lần đầu tiên được Cayley đưa ra vào năm 1857, khi ông sử dụng chúng để đếm một dạng cấu trúc phân tử của các hợp chất hoá học trong hoá học hữu cơ. Cây còn được sử dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau, đặc biệt trong tin học, cây được sử dụng để xây dựng các thuật toán tổ chức các thư mục, các thuật toán cất giữ, truyền dữ liệu. | CHƯƠNG 5 CÂY VÀ CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ Đồ thị vô hướng liên thông không có chu trình gọi là cây. Khái niệm cây lần đầu tiên được Cayley đưa ra vào năm 1857 khi ông sử dụng chúng để đếm một dạng cấu trúc phân tử của các hợp chất hoá học trong hoá học hữu cơ. Cây còn được sử dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau đặc biệt trong tin học cây được sử dụng để xây dựng các thuật toán tổ chức các thư mục các thuật toán cất giữ truyền dữ liệu và tìm kiếm. 1. CÂY VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA CÂY Ư Định nghĩal. Ta gọi cây là đồ thị vô hướng liên thông không có chu trình. Đồ thị không có chu trình được gọi là rừng. Như vậy rừng là đồ thị mà mỗi thành phần liên thông của nó là một cây. JThí dụ 1. Trong hình 1 là một rừng gồm 3 cây T1 T2 T3. Hình 1. Rừng gồm 3 cây T1 T2 T3. Có thể nói cây là đồ thị vô hướng đơn giản nhất. Định lý sau đây cho ta một số tính chất của cây. Định lý 1. Giả sử G V E là đồ thị vô hướng n đỉnh. Khi đó các mệnh đề sau đây là tương đương 1 T là cây 2 T không chứa chu trình và có n-1 cạnh 3 T liên thông và có n-1 cạnh 4 T liên thông và mỗi cạnh của nó điều là cầu 5 Hai đỉnh bất kỳ của T được nối với nhau bởi đúng một đường đi đơn 6 T không chứa chu trình nhưng hễ cứ thêm vào một cạnh ta thu được đúng một chu trình. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh định lý theo sơ đồ sau 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 h 1 j 1 h 2 Theo định nghĩa T không chứa chu trình. Ta sẽ chứng minh bằng qui nạp theo số đỉnh n cho khẳng định Số cạnh của cây với n đỉnh là n-1. Rõ ràng khẳng định đúng với n 1. Giả sử n 1. Trước hết nhận rằng trong mọi cây T có n đỉnh đều tìm được ít nhất một đỉnh là đỉnh treo tức là đỉnh có bậc là 1 . Thực vậy gọi v1 v2 . . . vk là đường đi dài nhất theo sốcạnh trong T. Khi đó rõ ràng v1 và vk là các đỉnh treo vì từ v1 vk không có cạnh nối với bất cứ đỉnh nào trong số các đỉnh v2 v3 . . . vk do đồ thị không chứa chu trình cũng như với bất cứ đỉnh nào khác của đồ thị do đường đi đang xét dài nhất . Loại bỏ v1 và cạnh v1 v2 khỏi T ta thu được cây T1 với n-1 đỉnh .
