GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Nếu chuỗi số có dạng , nghĩa là với mọi n; trong ðó f là một hàm số liên tục, không âm và giảm trên [1, + ) thì ta có: 1) Xét sự hội tụ của chuỗi ðiều hòa mở rộng Trýớc hết ta thấy rằng nếu 0 thì ( 1) không hội tụ về 0 nên chuỗi phân kỳ. Xét trýờng hợp | GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 co co y 5 X . vtl M f . . . Nếu chuỗi số 1 có dạng 1 nghĩa là với mọi n trong đó f là một hàm số liên tục không âm và giảm trên 1 thì ta có co - 0 Zu Kx ẩx n J -1 hội tụ 1 hội tụ JVí dụ 1 Xét sự hội tụ của chuỗi điều hòa mở rộng 1 . 1 ti- y . X. . X i X _ H . . X. - Truớc hết ta thây răng nếu a 0 thì 1 không hội tụ về 0 nên chuỗi phân kỳ. Xét truờng hợp a 0. Dễ thây răng các tiêu chuẩn dũklembert và tiêu chuẩn cãn thức Cauchy đều không cho ta kết luận đuợc về tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số. _L TT X . yy .A. . X. Hàm số f x A thỏa các điều kiện giả thiết trong tiêu chuẩn tích phân Cauchy. Do -- dx 1 . tích phân suy rộng 1 hội tụ khi và chỉ khi a 1 nên chuỗi 1 hội tụ khi và chỉ khi a 1. Tóm lại ta có 1 n hội tụ a 1. 2 Xét sự hội tụ của chuỗi 1 y 1 1 X Số hạng thứ n của chuỗi số là . Ta có với . Hàm số f x thỏa các điệu kiện của tiêu chuẩn tích phân Cauchy. Xét tích phân Sưu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 X ln x J2 Đổi biến u ln x thì được ũũ I00 1 J. I 1 dx du X ln x u 4 4 2 w 1 ỹ Ị _ . í Vậy chuỗi 2 phân kỳ. Sưu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Bài 13 Chuỗi tổng quát chuỗi hàm III. CHUỖI TỖNG QUÁT -1. Chuỗi đan dấu Cho dãy an các số dương chuỗi số có số hạng tổng quát un -1 nan hay un -1 n 1an được gọi là chuỗi đan dấu. Liên quan đến chuỗi đan dấu ta có tiêu chuẩn hội tụ leinitz như sau Định lý tiêu chuẩn Leibnits S -i Cn 1 Nếu chuỗi đan dấu 0. thỏa mãn 2 điều kiện Dãy an là dãy dương giảm và lim ứ . íí 0 thì chuỗi hội tụ. Hơn nữa tổng S của chuỗi thỏa 0 S u1. Chú thích Chuỗi thỏa điều kiện của tiêu chuẩn Leibnitz trong định lý trên được gọi là chuỗi Leibnitz. Nếu dùng tổng 2 Sn để xấp xĩ tổng của chuỗi Leibnitz thì phần dư thứ n của chuỗi là Rn thỏa Rn un 1 JVí dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi Sưu tầm by .
