ÐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN 1. Hàm ẩn một biến Giả sử có một hệ thức giữa hai biến xờ y dạng F(x,y) = 0 trong ðó ≠ậxờyấ là hàm ị biến xác ðịnh trong một lân cận mở ắ của ậx0, y0) và ≠ậx0, y0) = 0. Giả thiết rằng s là số dýõng và y) D và ≠ậxờ yấ ụ ếề y duy nhất sao cho ậxờ | GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 Cho z f x y t trong đó X x t y y t . Tính đạo hàm của hàm hợp z t f x t y t t . Ta có d .ẺL . _ . dí dí dí a dí dy dí dí V. ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN 1. Hàm ẩn một biến Giả sử có một hệ thức giữa hai biến X y dạng F x y 0 trong đó F x y là hàm 2 biến xác định trong một lân cận mở D của x0 y0 và F x0 y0 0. Giả thiết rằng s là số dương và e z0 0 sì y duy nhất sao cho x y - D và F x y 0. Như vậy ta có hàm số y y x xác định trên khoảng x0 - s x0 s và thỏa F x y x 0 E s x0 s . Hàm số y y x này được gọi là hàm ẩn theo biến X xác định bởi phương trình F x y 0. Trong toán học người ta gọi các định lý hàm ẩn là các định lý khẳng định sự tồn tại của hàm ẩn và đạo hàm của nó. Dưới đây là định lý cơ bản cho hàm ẩn một biến. T Định lý Giả sử hàm F x y thỏa 2 điều kiện sau i F liên tục trong hình tròn mở B P e tâm P x0 y0 bán kính e với F x0 y0 0 3F_ ii Tồn tại các đạo hàm riêng liên tục 3 trong B P e và x0 y0 0. Khi đó có e 0 sao cho phương trình F x y 0 xác định một hàm ẩn y x khả vi liên tục trong x0 - s x0 s và 13 Sưu tâm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 dy __F x UNhận xét Nếu thừa nhận sự tồn tại của hàm ẩn và đạo hàm của nó thì công thức đạo hàm của hàm ẩn trong địnnh lý trên có thể suy ra dễ dàng từ công thức đạo hàm của hàm hợp ả 0 F x y x F x F y . y F x y ảx OVÍ du Tính đạo hàm của hàm ẩn dy tại điểm 1 ù nếu y ù. Coi y là hàm theo X lấy đạo hàm phuơng trình trên ta đuợc y - exsiny - ex cosy. y 0 Tại x y 1 ù ta có ù ự y ự 0 - ĩĩ Suy ra y 1 1 0 Ghi chú Để tính đạo hàm cấp 2 y của hàm ẩn từ hệ thức 0 F x F ta có thể tiếp tục lấy đạo hàm thì đuợc 0 F xx F ự F yx F yy. y .y ự F . Từ đây sẽ rút ra y . 2. Hàm ẩn 2 biến Tuơng tự nhu truờng hợp hàm ẩn 1 biến với một số giả thiết thì phuơng trình 14 Sưu tâm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 F x y 0 sẽ xác định một hàm ẩn z z x y theo 2 biến X y. T Định lý Giả sử hàm F x y z thỏa các điều kiện i . F liên tục trong hình cầu mở B P0 e tâm p0 x0 y0 z0 bán kính e .
