GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 TÍCH PHÂN ÐÝỜNG LOẠI MỘT 1. Ðịnh nghĩa Cho hàm fậ∞ấ xác ðịnh trên cung ồửề ũhia cung th ành n phần tùy ý bởi các ðiểm A = Ao | GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 CHƯƠNG III TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT I. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT 1. Định nghĩa Cho hàm f M xác định trên cung AB. Chia cung AB th ành n phần tùy ý bởi các điểm A Ao A1 . An B. Đặt Ali là độ dài cung và trên cung lấy một điểm Mi tùy ý i 1 ị . n. Hình Lập tổng Nếu Sn có giới hạn hữu hạn I khi 11 O sao cho max Ali 0 vài không phụ thuộc vào cách chia các cung AiAi-1 và cách chọn các Mi thì I đuợc gọi là tích phân đuờng loại 1 của f M trên cung AB và đuợc ký hiệu là J f M dl ẤB Vậy 49 Sưu tâm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 lira AB 1-0 Khi đó ta nói f M là khả tích trên cung AB. Nếu cung AB thuộc mặt phẳng xy và f là hàm theo 2 biến f x y thì dùng ký hiệu ẨB Ị f Ọ- y s gi dl Trong không gian xyz f là hàm f x y z thì dùng ký hiệu ÂB OÝ nghĩa thực tế Xem 1 dây vật chất hình dạng L và có mật độ khối luợng là f M phụ thuộc vào điểm M trên dây thì khối luợng của dây vật chất là Tích phân đuờng loại 1 có nhiều ứng dụng thực tế đuợc trình bày ở mục ẤB 2. Định lý tồn tại Nếu hàm f M liên tục dọc theo cung trơn AB thì tích phân đuờng loại 1 tồn tại. 3. Các tính chất oTích phân đường loại 1 không phụ thuộc huớng của cung nghĩa Jf NÍ dl J f M dl là ÉA oNếu f g khả tích trên cung AB và k là hằng số thì kf g cũng khả tích và J kf g dl k Jfdl Jgdl ẤE Ấe ẤB eNeu I kha tích trên AB và c là 1 điểm trên cung AB thì AC CB 0 oNếu f M 0 khả tích trên AB thì ÂB 50 Sưu tâm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 Nếu f kha lích trên trên AB thì r I cũng khả tích trên AB OLưu ý Nếu cung AB trơn từng khúc nghĩa là cung AB có thể chia thành 1 số hữu hạn cung trơn và f M liên tục trên cung AB thì định lý tồn tại và các tính chất nêu trên vẫn đúng. 4. Định lý về giá trị trung bình Nếu f M liêân tục trên cung trơn AB có độ dài L. Khi đó tồn tại điểm M thuộc cung J kf g dl F M .L AB thỏa ÂB 5. Công thức tính tích phân Hường loại 1 trên mặt phẳng a Cung có phương trình tham số Cho hàm số f x y liên tục trên cung trơn và cung AB có phương
