Các hàm g và h theo giả thiết thoả m~n điều kiện Dirichlet do đó khai triển đ−ợc thành chuỗi Fourier hội tụ đều và có các chuỗi đạo hàm hội tụ đều trên đoạn [0, l]. Suy ra chuỗi hàm () với các hệ số a k và b k tính theo công thức () là hội tụ đều và các chuỗi đạo hàm riêng đến cấp hai của nó cũng hội tụ đều trên miền H. Do vậy có thể đạo hàm từng từ hai lần theo x, theo t trên miền H. Kiểm tra trực. | Chương 7. Phương Trình Truyền Són y x f ì dx C a x y Đổi biến ị y - f b x y dxvà n n x y sao cho J x y 0 Đưa về dạng chính tắc của phương trình parabole d 2u du du n u i dn 3. Nếu A x y b2 x y - a x y c x y thì phương trình có nghiệm phức b x y ù -A x y . . y x f .X dx C a x y ip x y C a x y Đổi biến ị y - fííxỵldx và n H-A x-y dx a x y a x y Đưa về dạng chính tắc của phương trình ellipse d 2u d 2u du du dị2 In2 fA dị dn p-1-7 Ví du Đưa về chính tắc phương trình sau đây 2 24 3 V d 3 è-3 È- 9u 0 dx2 dxdy dy2 dx dy Giải phương trình đặc trưng 2y 2 - 3y 1 0 y x C y x C Đổi biến . . 1 . . 3 1 ị n y - 2 x ị - n y - x Suy ra ị y - 4 x n 4 x dị - 3 dị 1 dn 1 dn 0 du - 3 du 1 du du du dx 4 dy dx 4 dy dx 4 dị 4 dn dx dị d2u 9 d2u 3 d2u 1 d2u d2u 3 d2u 1 d2u d2u d2u --- 7 1 T _. dx2 16 dị2 8 dịdn 16 dn2 dxdy 4 dị2 4 dịdn dy2 dị2 Dạng chính tắc của phương trình là d 2u d 2u du du o T - -T 2 7- 2 2 - 8u dị2 dn2 dị dn ương 7. Phương Trình Truyền Sóng Đ2. Phương trình vạt lý - toán Phương trình truyền sóng Cho sợi dây rất mảnh có độ dài l hai mút cố định dao động bé trong mặt phẳng Oxu theo phương trục Ou. Lúc không dao động dây nằm trên đoạn 0 1 và độ dài của dây không thay đổi trong suốt quá trình dao động. Bài toán đòi hỏi xác định độ lệch u x t tại điểm hoành độ x vào thời điểm t. Giả sử dây rất dẻo đàn hổi với lực căng T x t hướng theo phương tiếp tuyến của sợi dây và do đó có hệ số góc là . Do độ dài của sợi dây không thay đổi trong lúc dao động nên lực căng T x t không phụ thuộc vào thời gian. Gọi P1 là hình chiếu của lực căng trên cung M1M2 lên trục Ou x2 2 P1 Ĩ T x 0 dx x dx2 Gọi F x t là mạt độ của ngoại lực tác động và P2 là hình chiếu của ngoại lực trên cung M1M2 lên trục Ou P2 x F x t dx x1 Gọi p x là mạt độ vạt chất của sợi dây ut là gia tốc của chuyển động và P3 là hình chiếu của lực quán tính trên cung M1M2 lên trục Ou x2 2 P3 -Jp x U dx Theo nguyên lý cân bằng lực P1 P2 P3 0 suy ra K T x 44 F x t -p x 1 dx 0 x dx2 dt2 Do x1 x2 là tuỳ ý nên V x t e
