Chơng 2. H m BiếnPhức 1. Phép quay tâm O góc α z α ζ = eiαz ζ → ω = λζ 2. Phép vi tự tâm O hệ số λ 3. Phép tĩnh tiến vectơ b ωαw=ω+b Vậy phép biến hình tuyến tính l phép đồng dạng. H m nghịch đảo • H m nghịch đảo w = 1 , z ∈ ∀* z l h m giải tích, có đạo h m 1 w’(z) = 2 ≠ 0 với z ≠ 0 z v do đó biến hình bảo giác mặt phẳng (z) - {0} lên mặt. | ương 2. Hàm Biến Phức Đ6. Hàm mũ Hàm mũ phức Hàm mũ phức w ez ex cosy isiny z e V có phần thực u excosy và phần ảo v exsiny thoả điều kiện C - R nên giải tích trên toàn tập số phức có đạo hàm W z ez Hàm mũ phức tuần hoàn chu kỳ T 2ni ez i2n ez và có các tính chất khác tương tự như hàm mũ thực. Hàm mũ phức là hàm đa diệp ez ezi Rez Rez1 và Imz Imz1 2n Suy ra miền đơn diệp là băng đứng a Imz a 2n. Kí hiệu z x iy suy ra w ex và Argw y k2n. Qua ánh xạ mũ phức Đường thẳng y p biến thành tia Băng ngang 0 Imz 2n biến thành góc Một mặt phẳng z biến thành argw p 0 argw 2n - mặt phẳng w Hàm logarit phức Hàm logarit phức w Ln z z ew là hàm ngược của hàm mũ phức. Do hàm mũ phức là hàm đa diệp nên hàm logarit phức là hàm đa trị. Giả sử w u iv ta có eu z và v argz k2n với k e 9 Suy ra w ln z i argz k2n với k e 9 Lập luận tương tự như hàm căn phức điểm gốc là điểm rẽ nhánh của hàm logarit và để tách nhánh đơn trị cần phải cắt mặt phẳng phức bằng một tia từ 0 ra . Chương 2. Hàm BiếnP Miền đơn trị của hàm logarit phức là D V - -ra 0 . Với k 0 hàm w ln z iargz là hàm đơn trị giải tích trên miền D có đạo hàm 1 w z z và có các tính chất khác tương tự hàm logarit thực. 1 1 . n lni V Ví du Ln -1 ln -1 iarg -1 in p e e2 Đ7. Hàm lượng giác Hàm lương giác phức Kí hiệu _ 1 iz . _ iz cosz 2 e e 1 iz _ iz sinz Vr e e tgz sinz cosz Các hàm biến phức w cosz w sinz và w tgz gọi là các hàm lượng giác phức. Hàm lượng giác phức đơn trị tuần hoàn giải tích có đạo hàm cosz - sinz sinz cosz . . và có các tính chất khác tương tự hàm lượng giác thực. Chú ý Với z x e 3 cosz 1 eix e-ix cosx. Tuy nhiên cos i 1 e-1 e 1 Hàm hyperbole phức Kí hiệu chz 2 ez e z shz 1 ez e z thz 2 chz Các hàm biến phức w chz w shz và w thz gọi là các hàm hyperbole phức. Hàm hyperbole phức đơn trị tuần hoàn giải tích có đạo hàm chz shz shz chz . và có các tính chất khác tương tự hàm hyperbole thực. Ngoài ra ta có các liên hệ giữa hàm lượng giác và hàm hyperbole .
