Chương 4. Tính toán ngẫu nhiên Đặng Hùng Thắng Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007. Tr 180-218. Từ khoá: Quá trình ngẫu nhiên, Tính toán ngẫu nhiên Quá trình Wiener, Tích phân Wiener, Tích phân ngẫu nhiên Ito, Công thức Ito, Phương trình vi phân ngẫu nhiên. Tài liệu trong Thư viện điện | . Phân loại trạng thái xích Markov 25 với Cn y fii k Pii n - k Pii n n 1 theo bổ đề 1. VÌC0 0 Pii 0 1 nên ta suy ra Fii s Pii s Pii s - 1 hay Pii s Giả sử i hồi quy tức là 0 fii n 1. Theo bổ đề Abel tt lim Fii s lim fii n sn 1. s 1 s 1 n 0 Từ suy ra lim Pii s lim 5 Pii n sn tt. s- 1- s- 1- n 0 Vậy lại theo bổ đề Abel ii ta có 2 Pii n tt. n 0 Đảo lại giả sử i không hồi quy tức là V fii n 1. Sử dụng bổ đề Abel i n 0 và hệ thức ta rút ra lim Pii s . Lại áp dụng bổ đề Abel ii ta s 1 thu được Pii n x. n 0 Định lý . Nếu i j và j hồi quy thì i hồi quy. Chứng minh. Theo giả thiết tồn tại m n sao cho Pij n 0 Pji m 0. Với mỗi số nguyên dương h từ phương trình C-P suy ra Pii n h m Pij n Pjj h Pji m . Vậy Pii n h m Pij n Pji m 2 Pjj h . h 1 h 1 Thành thử i hồi quy. 26 Chương 1. Quá trình Markov Ví dụ . Cho rn là dãy các ĐLNN độc lập có phân bố xác suất như sau P rn 1 p P rn -1 q 0 p 1 p q 1. Dãy này được gọi là dãy Rademakher . Xét dãy Xn xác định như sau Xo a Xn i Xn rn 1. Pij ở đó . Khi đó Xn lập thành xích Markov với không gian trạng thái E 0 1 2 xác suất chuyển là P q Pij p 0 nếu nếu nếu -1 - 1. j i j i j i 1 Xích này được gọi là du động ngẫu nhiên 1 chiều mô tả sự chuyển động ngẫu nhiên của một hạt trên đường thẳng Sau mỗi đơn vị thời gian hạt dịch sang phải với xác suất p và dịch sang trái với xác suất q. Dễ thấy đây là một xích tối giản có chu kỳ d 2 và Pii 2n 2n pn qn. n J Pii 2n 1 0. Sử dụng công thức Stirling n V2nne nnn ta có Pii 2n 4pq n y nn Nếu du động ngẫu nhiên là đối xứng p q 1 2 thì Pii 2n do đó Jnn Pii n X. n . Phân loại trạng thái xích Markov 27 Vậy theo định lý mọi trạng thái đều hồi quy. Nếu p q thì 4pq a 1 cho nên Pii n TO vì chuỗi ộn hội tụ khi a 1. n Do đó theo định lý mọi trạng thái là không hồi quy. Về mặt trực giác ta thấy nếu p q thì có một xác suất dương để hạt xuất phát từ trạng thái i sẽ đi sang bên phải mãi mãi sang bên trái mãi mãi nếu p q không quay lại điểm xuất phát. Ví dụ . Xét du động ngẫu nhiên .
