. Quá trình d ng th i gian r i r c 113 Ch ng minh. Không gi m t ng quát gi s EXn = 0. Xét bi u di n ph c a Xn π Xn = −π einλ dZ(λ) . Khi đó 1 n Đ t Sn (λ) = Ta có Sn (λ) = Do đó 1 1−einλ n(1−eiλ ) n−1 π X(k) = k=0 −π 1 n 1 n n−1 eikλ dZ(λ) . k=0 n−1 eikλ. k=0 n uλ = 0 , n uλ = 0 1 n u λ = 0 , lim Sn (λ) = n→∞ 0 n uλ = 0 , lim Sn (λ) = I{0}(λ) . hay n→∞ Vì |Sn (λ)|. | . Quá trình dừng thời gian rời rạc 113 Chứng minh. Không giảm tổng quát giả sử EXn 0. Xét biểu diễn phổ của X Xn í emXdZ A . J n Khi đó n EX 1 ị kx dZ A . k 0 n k 0 Đặt Sn A 1 n 1 eikX. n k 0 Ta có _ 1 nếuA 0 Sn A 1 inX I nếuA 0 n 1 eiA Do đó z _ 1 nếu A 0 lim Sn A n 0 nếuA 0 hay lim Sn A I 0 A . n Vì Sn A 1 VA nên theo định lý hội tụ bị chặn ta có Sn A hội tụ tới I 0 A trongL2 -n n g . Vậy 1 n 1 Xk r Sn A dZ A r I 0 A dZ A Z 0 . n k 0 J n theo nghĩa bptb. Quá trình dừng Xn được gọi là ergodic nếu 1 n 1 -- V Xk m n Cv k 0 114 Chương 2. Quá trình dừng theo nghĩa bình phưong trung bình trong đó m EXn. Nói cách khác Xn là ergodic nếu trung bình thời gian hội tụ bptb tới trung bình theo tập hợp hay Xn tuân theo luật số lớn. Định lý sau dây cho ta điều kiện cần và đủ dể Xn là ergodic thông qua độ đo phổ của nó. Định lý . Quá trình dừng Xn là ergodic khi và chỉ khi 0 0. Chứng minh. Từ định lý trên suy ra Xn là ergodic khi và chỉ khi Z 0 0 . Mà E Z 0 2 0 . Do đó Z 0 0 khi và chỉ khi g 0 0 Định lý . Giả sử K h là hàm tương quan của X n . Khi đó Xn là ergodic nếu và chỉ nếu 1 n 1 lim 7 K m 0 n tt n y m 0 tức là K n 0 theo nghĩa trung bình Cesaro khi n - - . Điều kiện đủ để Xn ergodic là limn_ x K n 0 . Chứng minh. Xuất phát từ biểu diễn phổ của K h K n I einXdg X J n tương tự như trong chứng minh định lý ta có 1 n 1 n 1 V K m Sn X dg X . n m 0 J n Thành thử lim - V K m g 0 . n n m 0 Theo định lý ta có điều phải chứng minh. Vì K n 0 kéo theo K n 0 theo nghĩa trung bình Cesaro khi n - C nên ta có điều kiện đủ để Xn ergodic là limn_ x K n 0 . Quá trình dừng thời gian rời rạc 115 Định lý là một trường hợp riêng của định lý ergodic trung bình cho toán tử unita do nhà toán học Mỹ Von Neuman tìm ra. Định lý . Cho H là không gian Hilbert và T H H là toán tử tuyến tính bảo toàn tích vô hướng Tf Tg f g T được gọi là một toán tử unita . Khi đó với mỗi f E H tồn tại m1 Ế T kf f. n -tt n k 0 Chứng minh. Ký hiệu HT là không gian con bất biến .
