Tham khảo tài liệu 'giáo trình hướng dẫn phân tích các tính chất của hàm điều hòa dạng vi phân p4', khoa học tự nhiên, vật lý phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | ương 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng Dư Đinh lý Thăng dư của hàm f tại điểm a là hệ số c-1 của khai triển Laurent tại điểm đó. Resf a Chứng minh Khai triển Laurent hàm f tại điểm a Vc z -a n với cn Ị f Z dZ n e9 n 0 n 2ni Ị Z-a n 1 s f z V- n 1 z - a n So sánh với công thức suy ra công thức Hê quả Cho điểm a là cực điểm cấp m của hàm f _ . 1 d m-1 Resf a z 4 . lim d z - a m f z V m -1 z a dz m-1 I Chứng minh Khai triển Laurent tại cực điểm a cấp m f z z - a m z-a V cn z - a n n 0 Suy ra z - a mf z c-m . c-1 z - a m-1 c0 z - a m . z - a mf z m-1 m - 1 c-1 m m-1 .2c0 z - a . Chuyển qua giới hạn hai vế lim z - a mf z m-1 m - 1 c-1 z a I Ví du Hàm f z ẹ z2 1 3 có hai cực điểm cấp 3 là i . 1 . Resf i 2- lim e2 y z i 3 1 2 l z i ez 6ez 3 z i 4 -12 I ei 3 - 2i z i 5 z i 16 Đinh lý Cho hàm f có các cực điểm hữu hạn là ak với k V Re sf ak Resf 0 k 1 Chứng minh Gọi rk với k là các đường tròn z - ak Rk đủ bé để chỉ bao riêng từng điểm ak và r là đường tròn z R đủ lớn để bao hết tất cả các đường tròn rk. Theo công thức tích phân Cauchy Ịf z dz VỊf z dz - Ịf z dz r k 1 rk r- I Chuyển vế sau đó chia hai vế cho 2ni suy ra công thức Chương 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng Hê quả Cho đường cong r đơn kín trơn từng khúc định hướng dương và hàm f liên tục trên r giải tích trong Dr ngoại trừ hữu hạn cực điểm ak e Dr với k f z dz 2ni T Re sf ak r k 1 sin zdz Ví dụ Tính I r z2 1 z 3 với r là đường tròn z 2 định hướng dương Hàm f z có hai cực điểm z i nằm trong miền Dr và một cực điểm z -3 nằm ngoài miền Dr. sinz Resf -i lim z 1 z - i z - 3 Resf i lim ------ ------ z-i z i z - 3 sin -i - 2 6i sin i - 2 - 6i I 2ni Resf -i Resf i - 3 . ỹsin i Đ8. Thặng dư Loga Cho hàm f giải tích và khác không trong B a R - a liên tục trên r dB a R . Tích phân ResLnf a dz 2ni r f z gọi là thặng dư loga của hàm f tại điểm a. Theo định nghĩa trên f z ResLnf a Resg a trong đó g z Ln f z v 7 với z e B a R - a f z Đỉnh lý Với các kí hiệu như trên .
