Tham khảo tài liệu 'giáo trình hướng dẫn phân tích các tính chất của hàm điều hòa dạng vi phân p6', khoa học tự nhiên, vật lý phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | ương 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace n t jo t Q gọi là hàm nhảy đơn vị ỗ t h 1 n t - n t - h h 0 t h gọi là hàm xung h 0 t 0 t h ỗ t lim ỗ t h u 1 0 gọi là hàm xung Dirac h o 10 t 0 Đinh lý Hàm xung Dirac có các tính chất sau đây. 1. í ỗ t dt 1 tt 2. Với mọi hàm f liên tục tại 0 í f t ỗ t dt f 0 tt 3. V t t 3 n t í Ỗ T dT í ỗ t 0 T dT và ỗ t n t Chứng minh 1. í ỗ t dt í lim ỗ t h lim í ỗ t h dt 1 h 0 0 2. í f t ỗ t dt í f t lim ỗ t h dt 1 h lim1 í f t dt f 0 h J 3. Xét tích phân t n t h í ỗ T h dT 0 t 0 l h Chuyển qua giới hạn n t lim n t h h 0 Từ đó suy ra các hệ thức khác. I Cho các hàm f g F 3 V . Tích phân V t 3 f g t í f T g t T dT gọi là tích chập của hàm f và hàm g. Đinh lý Tích chập có các tính chất sau đây. 1. V f g L1 f g L1 và f g 1 f 1 g 2. V f g L1 f g g f 3. V f L1 n C 3 V f g g f f 4. V f g h L1 À V Àf g h Àf h g h Chứng minh 1. Do hàm g khả tích tuyệt đối nên bị chặn trên 3 V t T e 32 f T g t - T g f T Do f khả tích tuyệt đối nên tích phân suy rộng f g t hội tụ tuyệt đối và bị chặn đều f g 1 f ff T g t-T dTdt flf T l flg t-T ldt dT f 1 g - - 2. 3. V t e 3 f ỗ t Jf T g t - T dT Jf t - O g O de g f t - - h f f t - T lim Ỗ T h dT lim1 f f t - T dT f t h Q h Q h - Q V t e 3 f g t 4. Suy ra từ tính tuyến tính của tích phân I Đ2. Các bổ đề Fourier Bổ đề 1 Cho hàm f e L1. Với mỗi f e 3 cố định kí hiệu fx t f t - x với mọi t e 3 Khi đó ánh xạ o 3 L1 f fx là liên tục theo chuẩn. Chứng minh Ta chứng minh rằng V Q 3 ỗ Q V x y e 3 x - y ỗ O x - O y 1 Thật vậy Do hàm f khả tích tuyệt đối nên 1 V Q 3 N Q f lf t ldt 4 ltl N Trong khoảng -N N hàm f có hữu hạn điểm gián đoạn loại một a1 - N a2 . am N với A Max ak - ak-1 k và trên mỗi khoảng con ak-1 ak hàm có thể thác triển thành hàm liên tục đều V Q 3 ỗ Q x - y ỗ f x - f y 2mA Từ đó suy ra ước lượng x - O y 1 f If t - x - f t - y dt - flf t - x - f t - y dt ỵ f t - x - f t - y dt ltl N k 1 ak_ 1 Với mọi À t x e 3 X 3 X 3 kí hiệu ương 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace H t e-ltl và hÀ x
