Các tính chất của nghiệm nhớt cho phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục trên miền bị chặn đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả như các nguyên lý so sánh, các định lý duy nhất nghiệm và các định lý tồn tại nghiệm. Bài báo này trình bày một nguyên lý so sánh của nghiệm nhớt cho các phương trình đạo hàm riêng cấp hai loại elliptic trên miền không bị chặn. | MỘT NGUYÊN LÝ SO SÁNH CỦA NGHIỆM NHỚT CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM R ÊNG CẤP HAI LOẠI ELLIPTIC TRÊN MIEN KHÔNG BỊ CHẶN A COMPARARISON PRINCIPLE OF VISCOSITY SOLUTIONS TO SECOND ORDER ELLIPTIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS ON UNBOUNDED DOMAINS NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH Trường Đại học Sư phạm Đại học Đà Nẵng nguYễn Cửu huy HV Cao học khoá 2004-2007 TÓM TẮT Các tính chất của nghiệm nhớt cho phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục trên miền bị chặn đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả như các nguyên lý so sánh các định lý duy nhất nghiệm và các định lý tồn tại nghiệm. Bài báo này trình bày một nguyên lý so sánh của nghiệm nhớt cho các phương trình đạo hàm riêng cấp hai loại elliptic trên miền không bị chặn. ABSTRACT The properties of viscosity solutions of scalar fully nonlinear partial differential equations of second order on bounded domains have been investigated by many authors providing comparison principles uniqueness theorems and existence theorems. This paper describes a comparison principle for a viscosity solution of second order elliptic partial differential equations on unbounded domains. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Xét phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục có dạng F u Du D2 u f x trong đó F R X Rn X S n R với S n là ký hiệu của tập hợp tất cả các ma trận vuông đối xứng cấp n. Ta xét hàm số F u Du D2 u với u là một hàm số giá trị thực xác định trên toàn Rn Du là ký hiệu gradient của u và D2u ký hiệu cho ma trận Hessian các đạo hàm cấp hai của u và f là một hàm cho trước. Tuy nhiên trong khuôn khổ của bài toán sau đây Du và D2 u không còn theo nghĩa cổ điển tức là u không đòi hỏi phải khả vi liên tục đến cấp hai. Ta khảo sát tính chất của nghiệm nhớt cho phương trình F f trong đó F phải thỏa mãn điều kiện đơn điệu monotonicity condition F r p X F s p Y với r s và Y X. Trong đó r s E R p E Rn X Y E S n và trên S n đã trang bị thứ tự thông thường của nó. Lưu ý rằng điều kiện ở trên cho ta hai điều kiện F r p X F s p X với r s F r p X F r p Y .
