Tham khảo luận văn - đề án 'báo cáo nghiên cứu khoa học: " một số tính chất của nghiệm yếu của phương trình tập mức mặt cực tiểu"', luận văn - báo cáo phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | 7 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH TẬP MỨC MẶT CỰC TIÉU SOME PROPERTIES OF WEAK SOLUTIONS OF LEVEL SET MINIMAL SURFACE EQUATIONS NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH Trường Đại học Bách khoa Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT Trong 4 chúng tôi đã chứng minh sự tồn tại của một loại nghiệm yếu cho phương trình tập mức mặt cực tiểu. Loại nghiệm này nhận được từ giới hạn của một dãy nghiệm cổ điển của phương trình xấp xỉ tương ứng. Trong bài báo này chúng tôi đưa ra một số tính chất cơ bản của loại nghiệm yếu này. ABSTRACT In 4 we have proved that there exists a weak solution for level set minimal surface equations. This kind of solution has been obtained as a limit of a sequence of classical solutions of the correspondent approximate equations. In this paper we will give some properties of the weak solutions. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Xét phương trình tập mức mặt cực tiểu 4 5j ux uxj w 2 0 trong Q 1 x với điều kiện biên u x u0 x với mọi X e ỔQ. 2 Trong đó là một miền trong Rn với biên trơn ỔQ . Trong 4 chúng tôi đã chứng minh được rằng tồn tại một nghiệm yếu cho phương trình 1 với điều kiện biên 2 . Nghiệm này biểu diễn mặt cực tiểu N dưới dạng một tập mức không của nó với biên r được cho trên ỔQ bởi một hàm trơn u 0. Trước khi nêu ra một vài tính chất của nghiệm yếu chúng ta nhắc lại các định nghĩa về nghiệm yếu 4 . ĐỊNH NGHĨA NGHIỆM YẾU Ta ký hiệu C Q u Q R u liên tục trên QỊ. Định nghĩa Một nghiệm yếu dưới của phương trình 1 là một hàm ue C Q sao cho Với mỗi ộ e CK Q hàm u - ộ đạt cực đại địa phương tại một điểm x0 -Q thì 8 r 5J s ộxSx ộx x ì W 0 2 ộV1 0 0 khi Vộ x0 0 và - J -nMJ Klx x0 0 M e Rn n 1 khi Vộ x0 0. Định nghĩa Một nghiệm yếu trên của phương trình 1 là một hàm u e C Q sao cho Với mỗi ộ e CK Q hàm u - ộ đạt cực tiểu địa phương tại một điểm x0 e Q thì s V Ế- x ộx x ì Vộ 0 2 J ộvl x0 0 và khi Vộ x0 0 - ij nMJ ộx x_ x 0 n e Rn n 1 khi Vộ x0 0. Định nghĩa Một nghiệm yếu của phương trình 1 là một hàm u e C Q sao cho u vừa là nghiệm yếu dưới vừa là nghiệm yếu trên của phương trình 1 .
