giới hạn bởi đường L (đóng và bị chặn ; miền D kín nếu nó giới hạn bởi đường cong kín, và các điểm trên biên L được coi là thuộc D) mặt cong z = f(x,y) (f(x,y) xác định và liên tục trong miền D). Khi đó, ta chia miền D thành n phần có diện tích tương ứng là và mỗi miền có đường kính là (đường kính của 1 miền là khoảng cách lớn nhất giữa Xét trong mặt phẳng Oxy, miền kín D | Tích phân hai lớp Tích phân kép Nguồn 1. Định nghĩa tích phân kép Xét trong mặt phẳng Oxy miền kín D giới hạn bởi đường L đóng và bị chặn miền D kín nếu nó giới hạn bởi đường cong kín và các điểm trên biên L được coi là thuộc D Ta xét hình trụ có mặt đáy là miền D và mặt trên là mặt cong z f x y f x y xác định và liên tục trong miền D . Khi đó ta chia miền D thành n phần có diện tích tương ứng là - và mỗi miền có đường kính là đường kính của 1 miền là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm thuộc miền đó. Hay ta có thể ký hiệu . . . -ì - Lấy trên mỗi miền 1 điểm khi đó trên mỗi miền thì hình trụ sẽ xấp xỉ với hình trụ có đáy là và chiều cao là . Do đó thể tích của hình trụ có mặt đáy là D và mặt trên là f x y có thể tính xấp xỉ bởi 1 r L 1 Như vậy tổng Vn phụ thuộc vào cách chia còn gọi là phân hoạch của miền D và cách chọn điểm Pi. Do vậy nếu chúng ta chia miền D càng nhiều thì thể tích hình trụ càng chính xác. Nghĩa là đường kính di của mỗi miền càng nhỏ càng tiến về 0 thì ta sẽ có chính xác diện tích của miền D. Vậy cho sao cho i. Khiđó nếu tổng Vn tiến đến 1 giá trị hữu hạn V không phụ thuộc cách chia miền D và cách chọn điểm Pi thì giới hạn V đó được gọi là tích phân kép của hàm f x y trên miền D và được ký hiệu J y ds D trong đó hàm số f x y được gọi là hàm dưới dấu tích phân D được gọi là miền lấy tích phân ds là yếu tố diện tích. Nhận xét 1. Từ định nghĩa ta thấy rằng tích phân kép tích phân hai lớp được xuất phát từ yêu cầu tính thể tích của hình trụ có mặt trên là mặt cong bất kỳ và mặt đáy là hình chiếu của mặt cong xuống mặt phẳng z 0. Do đó f x y 0. Tuy nhiên ta vẫn có thể xét trường hợp f x y 0 trường hợp này có thể xem như hình trụ có mặt dưới là f x y và mặt trên là mặt phẳng z 0. Và như vậy ta có thể xét f x y là hàm có dấu bất kỳ. 2. Do tích phân 2 lớp không phụ thuộc vào cách chia miền D nên ta có thể chia miền D bởi các đường thẳng song song với trục Oy cách đều nhau 1 khoảng Ax và các đường thẳng song song với trục Ox .
