Nhập văn bản hoặc địa chỉ trang web hoặc dịch tài liệu. Hủy Bản dịch từ Tiếng Anh sang Tiếng Việt Một R vòng được gọi là quyền ACS-ring nếu Annihilator của bất kỳ yếu tố trong R là điều cần thiết trong một summand trực tiếp của R. Trong lưu ý điều này, chúng tôi sẽ trưng bày một số ví dụ cơ bản nhưng quan trọng của ACS-nhẫn. R là một vòng giảm, sau đó R là một ACS vòng bên phải nếu và chỉ nếu R [x] là một ACS vòng bên phải | Vietnam Journal of Mathematics 35 1 2007 11-19 Viet n a m J 0 u r n a I of MATHEMATICS VAST 2007 Some Examples of ACS-Rings Qingyi Zeng Department of Mathematics Shaoguan University Shaoguan 512005 China z . L Received November 09 2005 Revised July 16 2006 Abstract. A ring R is called a right ACS-ring if the annihilator of any element in R is essential in a direct summand of R. In this note we will exhibit some elementary but important examples of ACS-rings. Let R be a reduced ring then R is a right ACS-ring if and only if R x is a right ACS-ring. Let R be an a-rigid ring. Then R is a right ACS-ring if and only if the Ore extension R x a is a right ACS-ring. A counterexample is given to show that the upper matrix ring Tn R over a right ACS-ring R need not be a right ACS-ring. 2000 Mathematics Subject Classfication 16E50 16N99. Keywords ACS-rings annihilators idempotents essential extensions of rings. 1. Introduction and Preliminaries Throughout this paper unless otherwise stated all rings are associative rings with identity and all modules are unitary right R-modules. In 1 a submodule N of M is called an essential submodule denoted by N e M if for any nonzero submodule L of M L n N 0. Note that we are employing the convention that 0 e 0. Let M be a module and N a submodule of M. Then N e M if and only if for any 0 m G M there is r G R such that 0 mr G N. From 2 a ring R is called a right ACS-ring if the right annihilator of every element of R is essential in a direct summand of Rr or equivalently R is a right ACS-ring if for any a G R aR P S where PR is a projective right ideal and Sr is a singular right ideal of R. A ring R is called a right if every 12 Qingyi Zeng principal ideal of R is projective or equivalently the right annihilator of every element of R is generated by an idempotent of R. It is known that for a right nonsingular ring R R is a right ACS-ring if and only if R is a right . Also it is shown in 4 that polynomial rings over right
