. Định nghĩa hàm số nhiều biến số D là một tập hợp trong 2 , người ta gọi ánh xạ f : D , tức là một quy tắc cho tương ứng với mỗi cặp số thực x, y | CHƯƠNG III. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 1. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU . Định nghĩa hàm số nhiều biến số D là một tập hợp trong R2 người ta gọi ánh xạ f D R tức là một quy tắc cho tương ứng với mỗi cặp số thực x y e D một số thực duy nhất z ký hiệu là f x y là hàm số hai biến số x và y là hai biến số độc lập. Ta ký hiệu f x- y z f x- y D được gọi là miền xác định của hàm số f. Tập hợp f D z G Rlz f x- y v x- y G D gọi là miền giá trị của hàm số f. Chú ý Theo định nghĩa trên thì miền xác định của f thuộc R2 còn miền giá trị của nó thuộc R. Hàm số n biến số f x 15 x2 . xn được định nghĩa tương tự. . Miền xác định Nếu người ta cho hàm số hai biến số bởi biểu thức z f x y mà không nói gì về miền xác định của nó thì miền xác định của hàm số đó được hiểu là tập hợp những cặp x y sao cho biểu thức f x y có nghĩa. Ví dụ 1 Hàm số z 2x - 3y 5 xác định với mọi cặp x y e R2 miền xác định của nó là toàn bộ mặt phẳng. Ví dụ 2 Hàm số z ỵỊ 1 - x2 - y2 xác định khi 1 - x2 - y2 0 hay x2 - y2 1 miền xác định của nó là hình tròn đóng tâm O bán kính I hình 1 . Ví dụ 3 Hàm số z ln x y -1 được xác định khi x y -1 0 hay x y 1 miền xác định của nó là nửa mặt phẳng mở ở phía trên đường thẳng x y 1 hình 2 . hình 1 hình 2 . Giới hạn của hàm số hai biến số Ta nói rằng điểm Mn xn yn dần tới diểm M0 xo y0 trong R2 và viết Mn M0 hay xn yn x0 y0 khi n OT nếu l V xn n x - x0 yn - y0 - 0 Cho hàm số f M - f x y xác định trong miền D chứa điểm M0 x0 y0 có thể trừ điểm M0. Ta nói rằng L là giới hạn của f x y khi điểm M x y dần tới điểm M0 là lim f x y - L hay lim f M - L. x y x0 y M M0 Ví dụ 4 Tính lim x y 0 0 f X y với f x y - xy ựx2 y2 Giải Hàm số f x y xác định trên R2 0 0 . x Vì 1 1 V x y 0 0 nên yỊx2 y2 MI J ItMH v x y o o ylx2 y2 Do đó với mọi dãy x y dần tới o o ta đều có lim 0. 0 0 Vậy lim 0 - X Ví dụ 5-. Tính lim g x y với g x y W O X y Giải Hàm số g x y xác định trên V o o . Ta thấy rằng lim g x y không tồn tại. Thật vậy ta có Với dãy x y dần tới o o ta chọn yn 0 do đó g x o o Vx 0 thì lim . gix v
