Tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên có tư liệu ôn thi tốt đạt kết quả cao trong các kì thi Olympic | 1. Không gian vector Problem . Giả sử A là một ma trận vuông cấp n và C A B I BA AB là tập hợp tất cả các ma trận vuông phức cấp n giao hoán được với A. Chứng minh rằng C A là không gian vector con của không gian vector Mnxn và dim C A n. Hint. Xét ánh xạ tuyến tính T Mnxn - Mnxn Khi đó S ker T là không gian vector con của không gian các ma trận Mnxn. Đe ý rằng nếu C là ma trận khả nghịch thì AB BA Jordan với khối Jordan thứ i cấp k là Ai Khi đó Ai giao hoán với Bi khi và chỉ khi C 1ACC 1BC C 1BCC 1AC. Nếu D _ . Dn là các ma trận độc lập tuyến tính thì C 1D1C . C 1DnC cũng độc lập tuyến tính. Do đó để đơn giản ta giả sử A có dạng 0a 1 . 01 . . 0 a 1 0 0 a J b1 b2 . bk1 . . 0 b1 b2 0 0 bj Do đó A giao hoán với B1 Br Vì trong B có n biến nên dim C A n. Problem . Cho S là không gian con của không gian Mn C sinh bởi tập tất cả các ma trận có dạng AB BA. Chứng minh rằng dim S n2 1. Hint. Ta cần chỉ ra S có n2 1 vector độc lập tuyến tính. Đó là các ma trận Mj MikMkj MkjMik i j có n2 n phần tử Mil Mjj MijMj1 MjiMij j 1 có n 1 phần tử trong đó ma trận Mij là ma trận có phần tử 1 ở vị trí ij các vị trí khác đều bằng 0. Do đó dim S n2 1 mặt khác S Mnxn nên dim S n2. Suy ra dim S n2 1. Problem . Cho A B là các không gian vector con của không gian vector hữu hạn chiều V sao cho A B V. Gọi n dim V a dim A b dim B. Lấy S là tập tất cả các tự đồng cấu f của V mà f A c A f B c B. Chứng minh rằng S là không gian con của không gian tất cả các tự đồng cấu của V và hãy biểu thị số chiều của S qua a b n. Hint. Lấy f g 2 S và r s 2 R. Khi đó ta có 8v 2 A rf sg v f rv g sv 2 A vì f g bất biến đối với A. Tương tự ta cũng có rf sg v 2 B. Vậy rf sg 2 S hay S là không gian vector con của không gian vector các tự đồng cấu của V. Để tính số chiều của S ta chỉ cần tính số chiều của không gian các ma trận bất biến với A và B. Gọi A1 B1 là không gian vector con của V sao cho A A B @ A1 B A B @ B1. Khi đó dim A B r a b n dim A1 a r dim B1 b r. Lấy u1 . ua-r là cở sở của A1 v1 . vr là cở .
