Tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên có tư liệu ôn thi tốt đạt kết quả cao trong các kì thi toán olympic | Chương 1 Lý thuyết Các định lý về giá trị trung bình Định lý Fecmat . Cho hàm f xác định trên a b và c e a b . Nếu f đạt cực trị địa phương tại c và f c tồn tại thì f c 0. Định lý Rolle . Cho hàm f liên tục trên a b và khả vi trên a b . Nếu f a f b thì tồn tại c e a b sao cho f c 0. Định lý Lagrange . Cho hàm f liên tục trên a b và khả vi trên a b . Khi đó tồn tại c e a b sao cho f c f a - f b . a b Định lý Cauchy . Cho hai hàm số f và g liên tục trên a b khả vi trên a b . Khi đó tồn tại c e a b sao cho f b f a g c g b g a f c . Định lý Darboux . Cho hàm f khả vi trên a b và c d e a b . Khi đó f nhận mọi giá trị trung gian giữa f c và f d . Khai triển Taylor và quy tắc L Hospital Định lý . Nếu hàm số f a b R có các đạo hàm đến cấp n 1 trên a b và có đạo hàm cấp n tại điểm x0 e a b thì với h đủ nhỏ ta có f Xn h f xx f x0 h f x0 _ f n x0 h o hnx J X0 h f Xo --------1 h 2 h . --n h o h . Phần dư o hn được gọi là phần dư Peano. 1 Định lý . Cho hàm f xác định trên a b và x0 là một điểm cố định trên a b . Giả sử f có đạo hàm đến cấp n liên tục trên a b và có đạo hàm cấp n 1 trên khoảng a b . Khi đó với mỗi x e a b tồn tại c nằm giữa x và x0 sao cho f x f x f x0 x x . . . f w x0 x x n f n 1 c x xỴn 1 f x J x0 1 x x0 . . . x x0 1 x x0 . Biểu thức p f n 1 cm 1 Rn Tn 1 x x được gọi là phần dư trong công thức khai triển Taylor đến bậc n 1 của hàm f tại x0. Phần dư này được gọi là phần dư dạng Lagrange. Đặt h x x0 và gọi 6 e 0 1 là số sao cho c x0 ỡh ta có f _T h fíx f x0 h f x h . f n x0 hn f n 1 x0 eh hn 1. f x0 h . x0 ìy-h 2 h . n h n 1 h . Nếu hàm f thỏa mãn các giả thiết trong định lý trên thì tồn tại số c nằm giữa x và x0 sao cho f x0 f n x0 íx xGn f r XíNX r n. 1 x x0 . n x x0 n 1 x x0 x c . f x f x0 Biểu thức f n 1 cz Rz ----------- x x ì x cC n Rn n 1 x x0 x c được gọi là phần dư dạng Cauchy. Hiển nhiên là Đặt h x x0 và gọi 6 e 0 1 sao cho x x0 ớzh ta có f x h f x f x0 h _ f w x0 hn f n 1 x0 6 h 1 _ 0ZW 1 f x0 h f x0
