Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học trên tạp chí toán học quốc tế đề tài: Sur une g´n´ralisation des coefficients binomiaux e e. | Sur une generalisation des coefficients binomiaux Frederic Jouhet Bodo Lass et Jiang Zeng Institut Girard Desargues Universite Claude Bernard Lyon 1 43 bd du 11 Novembre 1918 69622 Villeurbanne cedex France jouhet lass zeng @ Submitted Jun 16 2003 Accepted Jul 16 2004 Published Jul 26 2004 Abstract We prove a recent conjecture of Lassalle about positivity and integrality of coefficients in some polynomial expansions. We also give a combinatorial interpretation of those numbers. Finally we show that this question is closely related to the fundamental problem of calculating the linearization coefficients for binomial coefficients. Key words Positivity and integrality conjectures linearization coefficients calculus of finite differences AMS subject classifications 05A05 05A10 05A15 05A17 05A18 05A19 05E05 33C20 1 Introduction Une partition H j1 j2 Hl 0 de n est une suite decroissante d entiers strictement positifs de somme n j . Le nombre l l j est appele la longueur de j. Pour tout i 1 1 entier mJ card ý Hj i est la multiplicite de i dans j. Definissons z n m Pour n 1 les factorielles montantes et descendantes sont definies comme suit x n x x 1 x n 1 x n x x 1 x n 1 . Notons que x n 1 n x n et que les coefficients binomiaux valent n x n n . Dans ses travaux sur les polynomes de Jack 13 Lassalle a recemment pose la conjecture suivante. THE ELECTRONIC JOURNAL OF COMBINATORICS 11 2004 R47 1 Conjecture 1. Soit X une indéterminée m et n deux entiers strictement positifs et r r1 . rm une suite d entiers positifs telle que r Vm 1 ri 0- On a M n X l .u -1 zu milXH . . 1 X X r I X n 1 r Ck n k J 1 1 k 1 ỵ 7 1 r ou les coefficients ck sont des entiers positifs a déterminer. Remarquons d abord que le membre de gauche de 1 est un polynome en X de degre n 1 donc il peut etre developpe dans la base X -1 1 k n d une seule facon. r Ceci implique l existence et l unicite des coefficients rationnels ck au membre de droite de 1 . r Comme nous allons le demontrer les .
