Chương 5 - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Phương trình vi phân cấp 1 tổng quát có dạng F(x, y, y’) = 0 hay y’ = f(x,y) - Ở đây: x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và y’(x) là đạo hàm của nó - Nghiệm bất kỳ nhận được từ nghiệm tổng quát khi cho hằng số c một giá trị cụ thể được gọi là nghiệm riêng | Đại học Quốc gia TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Khoa: Khoa Học Ứng Dụng Bộ môn: Toán Ứng Dụng Chương 5 TOÁN 4 Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1 Chương 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp 1 tổng quát có dạng F(x, y, y’) = 0 hay y’ = f(x,y) Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 1 là hàm y=φ(x,c) Ở đây: x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và y’(x) là đạo hàm của nó Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1 Nghiệm bất kỳ nhận được từ nghiệm tổng quát khi cho hằng số c một giá trị cụ thể được gọi là nghiệm riêng. Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 nhưng nghiệm này không nhận được từ nghiệm tổng quát cho dù c lấy bất kỳ giá trị nào được gọi là nghiệm kỳ dị Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1 VD: Xét phương trình vi phân cấp 1 Ta có: (*) Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1 Đây là nghiệm tổng quát Trường hợp: y=±1 thỏa phương trình (*) nên cũng là nghiệm của phương trình vi phân này nhưng chúng không nhận được từ nghiệm tổng quát nên là nghiệm kỳ dị Bài toán Cauchy Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 y’=f(x,y) thỏa điều kiện ban đầu y(xo) = yo . Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1 VD: Xét bài toán Cauchy Ta có: thỏa y(1) = 2 Từ điều kiện đầu y(1)=2 ta giải được c=2 Vậy nghiệm của bài toán thỏa điều kiện đầu y(1)=2 là y= Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1 3 Các loại phương trình vi phân cấp 1 Phương trình tách biến Dạng: f(x)dx + g(y)dy = 0 Cách giải: Bằng cách lấy tích phân ta được nghiệm tổng quát của phương trình là: Nhận xét: Nghiệm của mọi bài toán Cauchy đều là nghiệm riêng. Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1 là nghiệm của phương trình. VD: Giải phương trình vi phân Ta có: Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1 Một số phương trình vi phân cấp 1 có thể đưa về dạng tách biến Phương trình dạng: y’=f(y) Nếu f(y) = 0 có nghiệm y=b thì y=b là nghiệm riêng của phương trình. Nếu f(y) ≠ 0 thì phương trình trên đưa về dạng tách biến: Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1 VD: Tìm nghiệm . | Đại học Quốc gia TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Khoa: Khoa Học Ứng Dụng Bộ môn: Toán Ứng Dụng Chương 5 TOÁN 4 Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1 Chương 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp 1 tổng quát có dạng F(x, y, y’) = 0 hay y’ = f(x,y) Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 1 là hàm y=φ(x,c) Ở đây: x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và y’(x) là đạo hàm của nó Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1 Nghiệm bất kỳ nhận được từ nghiệm tổng quát khi cho hằng số c một giá trị cụ thể được gọi là nghiệm riêng. Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 nhưng nghiệm này không nhận được từ nghiệm tổng quát cho dù c lấy bất kỳ giá trị nào được gọi là nghiệm kỳ dị Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1 VD: Xét phương trình vi phân cấp 1 Ta có: (*) Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1 Đây là nghiệm tổng quát Trường hợp: y=±1 thỏa phương trình (*) nên cũng là nghiệm của phương trình vi phân này nhưng chúng không nhận được từ nghiệm tổng quát nên là nghiệm