I. Các khái niệm cơ bản 1. Hàm số đối số nguyên Hàm có tập xác định thuộc Z gọi là hàm số có đối số nguyên. Ký hiệu y = f(n). Ví dụ: f(n) = n2 + n – 1 f(n) = n3 + 1 f(n) = sina (a là hằng số) 2. Định nghĩa sai phân: Sai phân của hàm số Un là chênh lệch giá trị của hàm số tại hai giá trị kế tiếp nhau. Ký hiệu: ΔUn = Un +1 - Un Sai phân cấp m của hàm số Un là sai phân của sai. | CHƯƠNG VI PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN I. Các khái niệm cơ bản 1. Hàm số đối số nguyên Hàm có tập xác định thuộc Z gọi là hàm số có đối số nguyên. Ký hiệu y f n . Ví dụ f n n2 n - 1 f n n3 1 f n sina a là hằng số 2. Định nghĩa saipphân . Sai phân của hàm số Un là chênh lệch giá trị của hàm số tại hai giá trị kế tiếp nhau. Ký hiệu AUn Un 1 - Un Sai phân cấp m của hàm số Un là sai phân của sai phân cấp m-1 của hàm số đó AmUn A Am-1Un Am-1Un 1 - Am-1Un Chẳng hạn sai phân cấp 2 được tính A2Un A AUn AUn 1 - AUn Un 2 - Un 1 - Un 1 - Un Un 2 -2 Un 1 Un _ Tương tự ta có thể biểu diễn AmUn qua Un Un 1 . Un m I. Phương trình sai phân Định nghĩa là PT với hàm số phải tìm là 1 hàm đối số rời rạc f n Un có mặt dưới dạng sai phân các cấp. PT sai phân cấp m có dạng tổng quát . G n Un AUn A2Un . AmUn 0 Hay có thể viết dưới dạng F n Un Un 1 . Un m 0 Nghiệm của PT sai phân là hàm số đối số rời rạc Un f n mà khi thay Un f n Un 1 f n 1 . Un m f n m ta được một đồng nhất thức trên tập hợp các số nguyên n 0. Nghiệm tổng quát của một PT sai phân cấp n có dạng Un f n C1 C2 . Cn trong đó C1 C2 . Cn là các hằng số bất kì khi gán cho mỗi kí tự C1 C2 . Cn một số xác định ta được một nghiệm riêng của PT. PT sai phân Ôtônôm là PT có dạng Un m f Un Un 1 . Un m-1 1 II. Phương trình sai phân tuyến tính 1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 Định nghĩa Là phương trình có dạng anUn i bnUn fn 1 Trong đó an bn fn là các hàm đối số nguyên. Un và Un 1 là hai giá trị kề nhau của hàm Un đối số nguyên cần tìm. Nếu an và bn là các hằng số thì ta có phương trình sai phân hệ số hằng. Phương trình anUn 1 bnUn 0 2 gọi là phương trình thuần nhất tương ứng của 1 . Ví dụ Một khách hàng có số tiền là A đồng đem gửi tiết kiệm lãi xuất mỗi tháng là 1 . Lập mô hình về tình hình tiền vốn của khách hàng. Ta có Un 1 Un Ị00 Un 1 Un 1 - 1 0 Ư0 A 2. Phương trình sai pphân cấp cao a. Phương trình sai pphân cấp 2 Dạng 2 1 fn Nếu an bn và cn là các hằng số thì ta có phương trình sai phân hệ số hằng. .
