Advanced Engineering Math II phần 2

Hãy suy nghĩ của tập hợp các số thực như là một tập hợp con của IC bằng cách viết các số thực x là (x, 0). Số phức (0, 1) được gọi là i. Ví dụ 3 = (3, 0), (0, 5), ( -1, π), i = (0, 1). Đại diện hình học của một số phức tạp trong lớp. Ngoài ra định nghĩa 1,2 và nhân số phức, và cũng nhân bởi số thực được | 2. We calculate w In z as follows First write z in the form z reid. Now let w u iv. Then ew z gives eu iv z reie. Thus eu eiv re 0. Equating magnitudes and arguments eu r v 0 or u ln r v 0. Thus Formula for In z lnz lnr i0 r Izl 0 arg z 3. If 0 is chosen as the principal value of arg z that is -n 0 n then we get the principal value of ln z called Ln z. Thus Formula for Ln z Lnz lnr i0 r Izl 0 Arg z Also lnz Lnz i 2nn n 0 1 2 . What about the domain of the function Ln Answer Ln C- 0 C. However Ln is discontinuous everywhere along the negative x-axis where Arg z switches from n to numbers close to -n. If we want to make the Ln continuous we remove that nasty piece from the domain and take Ln z I z 0 and arg z n C 4. ln 0 is still undefined as there is no complex number w such that ew 0. Examples a ln1 0 2nni 2nni b ln4 . 2nni c If r is real then ln r the usual value of ln r 2nni d lni ni 2 2nni e ln -1 ni 2nni f ln 3-4i ln5 i arg 3-4i 2nni ln5 i arctan 4 3 2nni Ln 1 0 Ln 4 . Ln r ln r Ln i ni 2 Ln -1 ni Ln 3-4i ln5 i arctan 4 3 More Properties 1. ln z w lnz lnw ln z w ln z - ln w . This doesn t work for Ln eg. z w -1 gives Ln z Ln w ni ni 2ni but Ln zw Ln 1 0. 2. Ln z jumps every time you cross the negative x-axis but is continuous everywhere else except zero of course . If you want it to remain continuous you must switch to another branch of the logarithm. Lnz is called the principal branch of the logarithm. 3. eln z z and ln ez z 2nni eLn z z and Ln ez z 2nni For example z 3ni gives ez -1 and Ln ez ni z. 11 Exercise Set 3 p. 817 1 3 5 11 13 17 21 23-31 odd 35 37 45 p. 821 1 5 7 11 13 15 23 Hand In 1. Find functions f that do the following a Map the region z I 0 arg z n 2 onto the whole plane b Map the upper half plane to the lower half plane c Maps the second quadrant onto the right-half plane d What happens to the strip x iy I 0 y 1 x 0 under the map fz ie-z 2. A Mobius transformation is a complex function of the form _ az b f z cZ d a Find a Mobius

Không thể tạo bản xem trước, hãy bấm tải xuống
TỪ KHÓA LIÊN QUAN
TÀI LIỆU MỚI ĐĂNG
96    31    6    01-07-2022
18    14    2    01-07-2022
Đã phát hiện trình chặn quảng cáo AdBlock
Trang web này phụ thuộc vào doanh thu từ số lần hiển thị quảng cáo để tồn tại. Vui lòng tắt trình chặn quảng cáo của bạn hoặc tạm dừng tính năng chặn quảng cáo cho trang web này.