Advanced Engineering Math II phần 3

Hãy suy nghĩ về nó như là bản đồ ở trên trong đảo ngược: Những hình ảnh trên bên phải cho thấy nửa trên lĩnh vực, và chúng tôi nhận được: (F) f: C Cộng đồng Kinh tế ASEAN; f (z) = sin z II Đối với điều này là hữu ích để nhớ rằng f (x + iy) = sinx coshy + i cosx sinhy và chúng tôi thấy rằng nó thực hiện điều này Æ | Think of it as the above map in reverse The above picture on the right shows the top half the domain and we get F f C-C fz sin z For this it is useful to remember that f x iy sinx coshy i cosx sinhy and we find out that it does this -n 2 n 2 -1 1 the next block over n 2 x n goes underneath the axis and then it repeats as we go across the left-hand G f C - 0 C f z z or w 1 . Look at what happens to the general point z x iy 1 x - iy . w 1 u iv x iy x y A vertical line in the w-plane corresponds to u k x _. 2 2 k a constant x y But this is the equation to a circle For instance taking k 1 gives the circle center 1 0 radius 1. In general all these circles pass through the origin where f is not defined . since the above equation when cross-multiplied is satisfied by 0 0 . Similarly horizontal lines also correspond to circles but this time centered on the y-axis. In general we have the following 21 Proposition The transformation w 1 z takes circles or straight lines to circles or straight lines. Proof One can represent circles and straight lines by A x2 y2 Bx Cy D 0 Now x2 y2 zz and x z z 2 y z-z 2i. So the above equation can be rewritten as A-. B z z C z-z Azz 2 2i D 0 Now write this in terms of w 1 z. Substituting z 1 w z 1 w and multiplying by ww gives us A B w w 2 C w-w 2i Dww 0 or A Bu - Cv D u2 v2 0 again the equation of a circle or straight line. Ú More generally Theorem Every map of the form f z circles or straight lines az b cz d takes circles or straight lines to Proof We can manipulate f z to write it in the form fz a 1 J L c d z- which is a composite affine maps and inversions. Continuing with the examples. G f z z is conformal everywhere except at the origin. In fact it doubles angles at the origin. Some reverse ones Examples A Find a complex function that maps the upper half plane into the wedge 0 Arg z n 4. B Ditto for the Strip 0 y n Wedge 0 Arg w n 4. Look at the exponential map. .

Không thể tạo bản xem trước, hãy bấm tải xuống
TỪ KHÓA LIÊN QUAN
TÀI LIỆU MỚI ĐĂNG
53    10    1    06-07-2022
Đã phát hiện trình chặn quảng cáo AdBlock
Trang web này phụ thuộc vào doanh thu từ số lần hiển thị quảng cáo để tồn tại. Vui lòng tắt trình chặn quảng cáo của bạn hoặc tạm dừng tính năng chặn quảng cáo cho trang web này.