Fundamentals of Finite Element Analysis phần 6

r và s. Do đó, tích phân có thể được đánh giá chính xác bằng cách sử dụng hai điểm Gauss trong r và s. Theo Bảng , các điểm Gauss yêu cầu và các yếu tố trọng ri, sj = ± 0,57735 và W i, W j = 1,0, i, j = 1, 2. Sử dụng các thủ tục số cho k 11, chúng tôi viết và, bằng cách sử dụng các điểm tích hợp quy định và các yếu tố trọng, điều này đánh giá | I Text Hutton Fundamentals of 7. Applications in Heat Finite Element Analysis Transfer The McGraw-Hill Companies 2004 Heat Transfer in Two Dimensions 245 of r and 5. Therefore the integrals can be evaluated exactly by using two Gauss points in r and 5. Per Table the required Gauss points and weighting factors are ri Sj and W Wj i j 1 2. Using the numerical procedure for k11 we write 11 11 k11 kxt- E S - 1 2 dr ds kyt- - - r - 1 2 dr ds a 16 a 16 1 2hab I r 1 2 s 1 2 dr ds 16 1 b1 a1 kxt- V V -rrWiWj Sj 1 2 kyt W Wj r 1 2 x a t- 16 1 jyj b ti 16 1 jI i 1 j 1 i 1 j 1 2 2 1 2hab EEj-6 WW 1 r 2 1 Sj 2 i 1 j 1 and using the specified integration points and weighting factors this evaluates to k11 bi 1 a i 1 4 kxt kyt 2hab x y a 3 J b 3 9 It is extremely important to note that the result expressed in the preceding equation is the correct value of k11 for any rectangular element used for the two-dimensional heat conduction analysis discussed in this section. The integrations need not be repeated for each element only the geometric quantities and the conductance values need be substituted to obtain the value. Indeed if we substitute the values for this example we obtain k11 Btu hr- F as per the analytical integration procedure. Proceeding with the Gaussian integration procedure calculation of some of these terms are to be evaluated as end-of-chapter problems we find k11 k22 k33 k44 Btu hr- F Why are these values equal The off-diagonal terms again using the numerical integration procedure are calculated as k12 k13 k14 k23 k24 k34 I Text Hutton Fundamentals of 7. Applications in Heat Finite Element Analysis Transfer The McGraw-Hill Companies 2004 246 CHAPTER 7 Applications in Heat Transfer Btu hr- F and the complete element conductance matrix is EXAMPLE Btu hr- F r Figure .