Chương 1. I. Đưa phương trình về dạng chính tắc và phân dạng Cho phương trình: aU xx + bU xy + cU yy + F( x , y, U, U x , U y ) = 0 Xét phương trình đặc trưng: a ( y ) 2 − by + c = 0 | PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Chương 1. I. Đưa phương trình về dạng chính tắc và phân dạng Cho phương trình: Xét phương trình đặc trưng: và * Nhận dạng phương trình chính tắc: Nếu: thì pt chính tắc có dạng , thuộc loại hyperbol. thì pt chính tắc có dạng , thuộc loại ellip. thì pt chính tắc có dạng , thuộc loại parabol. * Tìm phương trình chính tắc: - Giải phương trình đặc trưng: Trường hợp 1. . Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt và . Đặt Trường hợp 2. . Phương trình (*) có 2 nghiệm phức liên hợp . Đặt Trường hợp 3. . Phương trình (*) có nghiệm kép . Đặt và chọn thỏa mãn . - Sử dụng phương pháp đổi biến đưa phương trình về dạng chính tắc. II. Giải phương trình vi phân tìm nghiệm tổng quát - Đưa phương trình về dạng chính tắc. - Giải phương trình chính tắc tìm nghiệm tổng quát. - Thay bởi x, y ta được phương trình cần tìm. Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOL I. Bài toán Cauchy Phương trình nghiệm tổng quát như sau: II. Bài toán biên ban đầu Trường hợp 1. , ta có công thức nghiệm: Trong đó: ; Trường hợp 2. , ta có công thức nghiệm: Trong đó: với Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH ELLIP I. Bài toán Dirichlet trong hình tròn S bán kính R Bằng cách đổi tọa độ cực ta có công thức nghiệm tổng quát: trong đó: ; ; . II. Bài toán Dirichlet trong hình chữ nhật Ta có phương trình nghiệm tổng quát: Giải hệ phương trình để tìm . Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH PARABOL I. Bài toán Cauchy Ta có công thức nghiệm: II. Bài toán biên ban đầu thứ nhất Trường hợp 1. , ta có phương trình nghiệm tổng quát: Trong đó: Trường hợp 2. , ta có phương trình nghiệm tổng quát: Trong đó: với
