Một số phân phối rời rạc quan trọng 1. Phân phối nhị thức. Định nghĩa . Xét dãy n phép thử Bernoulli với xác suất thành công trong mỗi phép thử là p. Ký hiệu X là số lần “thành công” xuất hiện trong dãy n phép thử. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức với tham số (n, p), ký hiệu B(n, p) với pX(k) = P(X = k) = ; k = 0, 1,., n Ví dụ . Gieo liên tiếp ba lần đồng xu cân đối và đồng chất. Gọi X là số lần xuất hiện. | T r V J Ấ I V 1 Ấ A J Một sô phân phôi rời rạc quan trọng 1. Phân phối nhị thức. Định nghĩa . Xét dãy n phép thử Bernoulli với xác suất thành công trong mỗi phép thử là p. Ký hiệu X là số lần thành công xuất hiện trong dãy n phép thử. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức với tham số n p ký hiệu B n p với pX k P X k k 0 1 . n Ví dụ . Gieo liên tiếp ba lần đồng xu cân đối và đồng chất. Gọi X là số lần xuất hiện mặt sấp trong 3 lần gieo. Tìm phân phối xác suất của X. Tính xác suất để trong 3 lần gieo có nhiều nhất 1 lần xuất hiện mặt sấp. Giải. Coi việc gieo 3 lần đồng xu như tiến hành 3 phép thử Bernoulli với xác suất 1 1 xuất hiện mặt sấp là p 2 . Vậy X có phân phối nhị thức tham số n 3 p 2 nghĩa là nV 1 1 . CÃ ị 1-4 ơ4 k 0 1 2 3 P X k - 8 hay dưới dạng bảng X 0 1 2 3 P 1 3 3 1 8 8 8 8 Xác suất cần tìm là 1 34 1 P X 1 P X 0 P X 1 8 8 8 2 Định lý . Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B n p thì E X np và D X np 1-p Chứng minh. Trước hết ta đi xác định momen gốc bậc k của X. Ta có E xk ỉ ik c 1 1 - p n 1 ỉik c p1 1 - p ik- c 1P L x 1 - p Q- i 0 i l i 0 Đặt j i -1 ta nhận được H Xk pj lj .c p tl-p 1 -1 npE Y l k- j 0 . ở đó Y là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B n - 1 p . Vậy khi cho k 1 ta nhận được EX np. Cho k 2 ta có E X2 npE Y 1 rp E Y 1 rp n- l p 1 Từ đó D X ijp in-l p l - Dp k np l-p 2. Phân phối Poisson. Định nghĩa . Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số l 0 nếu phân phối xác suất của nó có dạng P X k kl k 0 1 2
