Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 1. Biến ngẫu nhiên Cho không gian xác suất (W, , P) và B(R) là s-đại số các tập Borel với R = (-¥; +¥). Định nghĩa . Biến ngẫu nhiên X(w) là hàm đo được xác định trên không gian biến cố sơ cấp W và nhận giá trị trong R, nghĩa là với mọi tập BÎ B(R) ta có X-1(B) = { Định lí . Cho (W, , P) là không gian xác suất. Khi đó X(w) là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian đó khi và chỉ khi với. | r Ấ X 1 V A 1 A 1 A 1 A Biên ngâu nhiên và hàm phân phôi 1. Biến ngẫu nhiên Cho không gian xác suất W 5 P và B R là s-đại số các tập Borel với R - . Định nghĩa . Biến ngẫu nhiên X w là hàm đo được xác định trên không gian biến cố sơ cấp W và nhận giá trị trong R nghĩa là với mọi tập BĨ B R ta có X-1 B íù Ẽ Q X ũũ ẽB Ẽ 3 Định lí . Cho W 3 P là không gian xác suất. Khi đó X w là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian đó khi và chỉ khi với bất kì số thực xĨR một trong các điều kiện sau được thoả mãn i1. w X w x ĩ 3 i2. w X w x ĩ 3 i3. w X w x ĩ 3 i4. w X w - x ĩ 3 Ví dụ . Giả sử W 5 P là không gian xác suất tuỳ ý. Với A Ĩ 3 bất kỳ định nghĩa hàm Ia w 1 với ũ với Cũ Ẽ A ũ ỀÀ Hàm IA w được gọi là hàm chỉ tiêu trên tập A. Chứng minh IA w là biến ngẫu nhiên. Giải. Theo Định lí ta chỉ cần chứng minh với mỗi x ĨR thì w IA w -xi ĩ 5 . Thật vậy w Ia w x neu X Ũ neu Ũ X 1 nếu X 1 Do A- đều là phần tử của nên w Ia w X 1 . Ví dụ . Gieo một lần đồng tiền cân đối và đồng chất. Ký hiệu X là số lần xuất hiện mặt sấp xuất hiện. Chứng minh rằng X là biến ngẫu nhiên. Giải. Đặt W w1 w2 trong đó W1 là biến cố xuất hiện mặt sấp w2 là biến cố xuất hiện mặt ngửa . Ta có 1 X w l-ũ với Cũ ŨỪJ với Cù Cũ2 Chứng minh giống như trong Ví dụ ta có X là biến ngẫu nhiên. Định nghĩa . Hàm f R R được gọi là hàm Borel nếu với bất kì tập B ỉ B R ta có 1 B ỉ Bn R trong đó Bn R là s-đại số cực tiểu chứa lớp tất cả các hình 11 n ak bk hộp chữ nhật nửa đóng k-i . Ví dụ . Các hàm dưới đây đều là hàm Borel f x lxl f x sinx x ỉ R f x Xi X2 . xn xi . xn ỉ Rn. f x D - ì xl . x ỉRn. f x Xi . Xn ỉRn. Định lí . Cho f x là hàm Bôrel trên Rn vàX1 . Xn là những biến ngẫu nhiên xác định trên cùng không gian xác suất W P . Khi đó f X1 . Xn là biến ngẫu nhiên. X Hệ quả . Nếu X Y là các biến ngẫu nhiên thì aX X Y X - Y XY Y X max X 0 X min X 0 lxl x x đều là biến ngẫu nhiên. . mfXn ọ Định lí . Nêu Xn w n31 là dãy biên ngẫu nhiên thì n o. - H-HO cũng là những biến ngẫu nhiên. 2.
