Chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Không gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x1, x2, xn) (xi R, i = 1, n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là Rn. Rn = {x = (x1, x2, xn): xi R, i = 1, n} | Chiang 3. HÀM NHIỀU BIẾN SÔ KHẢI NIỆM CƠ BẢN Không gian n chiều Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự ký hiệu x1 X2 . Xn xi e R i 1 . n được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là Rn. Rn x xi X2 . Xn Xi e R i 1 . n Trong đó xi là toạ độ thứ i của điểm x. Khoảng cách 2 điểm X X1 X2 . Xn y yi y2 . yn e Rn n d x y E xi -yi 2 V i 1 Một số tính chất của d a d x y 0 d x y 0 v Xi yi VI v X y b d x y d y x c d x y d x z d z y Lân cận Cho X0eRn và số r 0. Tập S x0 r x e Rn d x x0 r được gọi là một lân cận của x0. Điểm trong Điểm x0eRn được gọi là điểm trong của D G Rn nếu D chứa một lân cận của x0 Điểm biên Điểm x0 e Rn được gọi là điểm biên của D G Rn nếu mọi lân cận của x0 đều chứa ít nhất các điểm x y x e D y Ể D. Tập hợp mọi điểm biên của D được gọi là biên của D Tập đóng Nếu biên của D thuộc D. Tập mở Nếu biên của D không thuộc D. Hàm 2 biến D G R2 một ánh xạ f D R được gọi là hàm số 2 biến. Ký hiệu D miền xác định f D zeD z f x y V x y e D gọi là miền giá trị Ví dụ Tìm miền xác định z 2x - 3y 5 .2 .2 - x -y z z ln x y -1 Hàm n biến D G Rn một ánh xạ f D R được gọi là hàm số n biến. Ký hiệu f X1 x2 .xn z f x1 x2 .xn Ẹ2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Giới hạn hàm số Cho hàm f x y xác định tại lân cận M0 x0 y0 có thể không xác định tại M0. Số thực L được gọi là giới hạn của f khi M x y tiến đến M0 x0 y0 nếu Ve 0 S3 0 d M M S f M - L e d M M0 7 x-x0 2 y-y0 2 limf M L f x y L imf x y L M 0 x y x0 yo x x-0 y y Khái niệm vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến. Các định lý về giới hạn của tổng tích thương đối với hàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến. Ví dụ sin XX y lim 2 7 x y H 0 0 X2 y V xy lim Ị _ x y N 0 0 ựx2 y2 Liên tục của hàm f được gọi là liên tục tại x0 y0 nếu lim x y H x0 yO f x y f x y0 Định lý Nếu f x y liên tục trên một tập đóng và bị chặn trên D G R2 thì Tồn tại số M f x y M f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên D Tương tự ta có thể định nghĩa giới hạn và sự liên tục của hàm
