Xác suất điều kiện này không phụ thuộc vào thống kê đủ đối với . * Điều kiện cần. Vậy T(X) = (T1(X), , Ts(X)) làGiả sử (T1(X), , Ts(X)) là thống kê đủ đối với . Theo Định nghĩa ta có không phụ thuộc vào. Đặt h(x1, , xn) = Ta biết rằng Điều kiện cần được chứng minh. Chứng minh định lí trong trường hợp phân phối liên tục xem trong [2]. Ví dụ . Giả sử (X1, X2, , Xn) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối chuẩn N(a; với (a;2). Chứng minh rằng 2;là thống kê đủ đối). Giải. Ta có hàm mật. | pnix-zj nivt. .xj s .o t .xJeS Xác suất điều kiện này không phụ thuộc vào . Vậy T X Ti X . Ts X là thống kê đủ đối với 3. Điều kiện cần Giả sử T1 X . Ts X là thống kê đủ đối với 0. Theo Định nghĩa ta có p O Xi xVù Ti không phụ thuộc vào õ. Đặt h xi . Xn Ta biết rằng n l 1 n x1 z p i T L-l ti Mà pfì Ti td z Vậy ta có i-1 Điều kiện cần được chứng minh. Chứng minh định lí trong trường hợp phân phối liên tục xem trong 2 . Ví dụ . Giả sử Xi X2 . Xn là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối chuẩn 2. SỈƠO- -X 2 . . N a a . Chứng minh rằng là thống kê đủ đối với a 2 . Giải. Ta có hàm mật độ đồng thời của X1 . Xn là f xp . xa a o2 2tĩ 2 exp A-a 2ì m 2 expf-- S CK i X-a 2 V 2. g SÍ X . KX g trong đó h x W và gV o2 sezp - S .fXJ tX-a V 2u Theo Định lí cặp SaW x là thống kê đủ đối với a ơ2 Định nghĩa . Thống kê Xi . Xn xác định trên không gian mẫu Rn và nhận giá trị trong không gian T được gọi là ước lượng của hàm tham số T ô Theo định nghĩa của thống kê thì X chỉ phụ thuộc Xị . Xn mà không phụ thuộc 0 . Định nghĩa . Ước lượng Xi . Xn của hàm tham số r được gọi là ước lượng không chệch nếu E X1 . Xn T . Ví dụ . Giả sử X1 X2 . Xn là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối chuẩn dạng tổng quát N a ơ2 . 1 a_ - 1 _ _ ƯƯt . Trung bình mâu là ước lượng không chệch của a vì m a n Phương sai mẫu điều chỉnh S X -Ỉ-Ẽ XL-X S n-1 i_j là ước lượng không chệch của 2. Thật vậy ES X -in-1 B - -i- EEiXj-aJ X-aJtXj-aJ iX-a 2 EL 1 i-i nơ2 -nH X-a 2 - nơ2 -ơ2 ơ2 n-1 .
