Luật số lớn 1. Các khái niệm và mối quan hệ giữa các loại hội tụ cơ bản Định nghĩa . Dãy biến ngẫu nhiên (Xn, n 1) được gọi là hội tụ theo xác suất tới biến ngẫu nhiên X khi n , ký hiệu , nếu với mọi 0 tuỳ ý (1) Định nghĩa . Dãy biến ngẫu nhiên (Xn, n 1) được gọi là hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên X khi n , ký hiệu nếu P[w: (2)] = 1. Vậy (2) trở thành P(A) = 1. Từ đó, tiêu chuẩn hội tụ. | Luật sô lớn 1. Các khái niệm và mối quan hệ giữa các loại hội tụ cơ bản Định nghĩa . Dãy biến ngẫu nhiên Xn n 1 được gọi là hội tụ theo xác suất tới biến ngẫu nhiên X khi n 00 ký hiệu 11 nếu với mọi e 0 tuỳ ý lim p xn -X e 0 1 Định nghĩa . Dãy biến ngẫu nhiên Xn n 1 được gọi là hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên X khi n 00 ký hiệu nếu lim Xn X P w n-ỉ 1. 2 xn k ffl - x o r _ . Aỉử Nhận xét Đặt Cũ r-l thì ŨO ŨO ũữ lim xn X nun w Flii lk i A Vậy 2 trở thành P A 1. Từ đó tiêu chuẩn hội tụ hầu chắc chắn có thể phát biếu như sau Dãy biến ngẫu nhiên Xn n 1 hội tụ hầu chắc chắn tới X khi n 00 khi và chỉ khi với 0 tuỳ ý w GQ PHJ cù Xn k ffi -X ffi ú í k l 0 3 hay U o xk-X E k n 0 khi n 00. So sánh giữa hai loại hội tụ từ nhận xét trên ta có Định lý . Nếu X11 X thì Xn khi n oa. Lưu ý rằng khẳng định ngược lại nói chung không đúng. Thật vậy Ví dụ . Cho Xn là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối P X O 1- rà P X 1 n n Với mọi 0 s 1 ta có P xQ e P Xn 1 -- ũ khi n ŨO n . . Như vậy 0 Mặt khác 1-lim. n l- 1 Điều này có nghĩa dãy Xn không hội tụ . Ta có kết quả sau Định lí . . Nếu dãy biến ngẫu nhiên Xn n 1 là đơn điệu tăng giảm và X-1 khi n 00 thì X a cc x khi n 00. Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết X s 0 Xn 0 Xn4 và xn x khi n OD. Giả sử Xn không hội tụ hầu chắc chắn đến X. Điều đó có nghĩa là tồn tại 0 SUpXj E và tập A với P A 15 0 sao cho k n với I A và với mọi n. Vì Xn là supXk dãy giảm khi n tăng nên kkn Xn. Vậy P Xn P A 15 0 với mọi n. .1 r. -Ẵ V. p 4 Điều này mâu thuẫn với giả thiết n .Định lí được chứng minh. . v. ạụp Xk-X 0 Định lí . ti A khi và chỉ khi l n khi n nghĩa là với e 0 cho trước .
