b- Nếu (An) là dãy các biến cố độc lập và Chứng minh. giả thiết P(A ) = số hạng dư khi n. Vậy b- Ta có. Để chứng minh P(A ) = 1 ta cần chứng minh hay ta phải chứng minh P() = 0 với mọi n. Với N n ta có P() 0 cho trước (6) Chứng minh. Đặt;, k = 1, 2, , n và Rõ ràng A0, A1, , Ak là xung khắc từng đôi, trong đó 2, , có, k = 1,vàVì E(Sn/Ak) = 0 nênTheo giả thiết Ak độc lập với các, j . | P An co nu P J SLÍPAa 00 thì a b- Nếu An là dãy các biến cố độc lập và n i 1 Chứng minh. a- Ta có lim sup Ak ri u Ak A k n Uk n Suy ra ŨO Cũ P A P LK Ep Ak k n k n Ep A Theo giả thiết 1 00 nên số hạng dư k n _ 0 khi n 00. Vậy P Aữ 0. CO co . b- Ta có n lk n . Để chứng minh P Aco 1 ta cần chứng minh CO r ÂOD o hay ta phải chứng minh P k n 0 với mọi n. Với N n ta có _ N _ N _ p Ak DAk niw P P k n N r N nO-P Ak Cexp -XP Ak f k n I k n J 00 N P Ak Zp Ak k l 00 ta suy ra k n -a co khi vì 1 - x ẽx với mọi 0 x 1. Do k i expi Z p Ak f N ca. Vậy l k-n J - 0 khi N 00. Do đó o nghĩa là P Aơz 1. Bổ đề được chứng minh. Định lí . Bất đẳng thức Côn môgôrốp Giả sửX1 X2 . Xn là dãy biến ngẫu nhiên độc lập. Khi đó với 8 0 cho trước tuỳ ý ta có E k l k n I max y Xi -EXO E llk p J J 6 k Sk Exi Chứng minh. Đặt Xr Ak -E -k i l k 1 2 . n và Ak cc S1 Sk e Rõ ràng A0 A1 . Ak là xung khắc từng đôi trong đó Aa ffi sk k 1 2 . có k-1 và p co max sk E _ l k n . SP At n DSR 2P Ak E S Ak Vì E Sn Ak 0 nên E S Ak E SỈ 2SSkX S X 2 2 s Xjx Ak _ j k j k j lí k E sk 2Zskxj 2 Ẹ xjxh Ak j k j h k .7 7. 7 X . 7 T. . Theo giả thiêt Ak độc lập với các J j vậy E skx Ak E sk ỉ Ak E x l Ak 0 E với j k x XĨ Ak với h 1 j h j k 1 và E s Ak s r 7 7 với k 1 Tóm lại n - DSk s2 P Ak e2P maz Sk I e Ll k n . Từ đó suy ra p max _l k n Sk ae I S-jZDXk s k l Định lí . Định lí Côn môgôrốp 1
