Phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên 1. Phân phối xác suất của hàm của biến ngẫu nhiên Mệnh đề . Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời là f(x,y). Giả sử U=1(X,Y) là V =2(X,Y)với 1,2là các hàm đơn trị sao cho 1(U,V) (X,Y) được xác định duy nhất từ giá trị của (U,V) là X =2(U,V).Giả thiết1,2 tồn tại các đạo hàm riêng liên tục theo u và v. Khi đó hàm mật độ đồng thời của U và V được xác định bởi UV(u,v) = f(1(u,v), 2(u,v)) Chú ý: Công thức trên có thể. | T- l 1 Ấ -7 1 A r 1 Ấ X 1 K Phân phôi của hàm các biên ngâu nhiên 1. Phân phối xác suất của hàm của biến ngẫu nhiên Mệnh đề . Cho X Y là các biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời là f x y . Giả sử U ĩ 1 X Y và V ÍĨ 2 X Y với 1 ĩ 2 là các hàm đơn trị sao cho X Y được xác định duy nhất từ giá trị của U V là X ỉ11 U V và Y 2 U V . Giả thiết ĩ11 ĩ tồn tại các đạo hàm riêng liên tục theo u và v. Khi đó hàm mật độ đồng thời của U và V được xác định bởi dVi 3u 3ti 3u guv u v f 1 u v 2 u v với J Chú ý Công thức trên có thể mở rộng cho trường hợp n biến ngẫu nhiên X1 X2 . Xn. Ví dụ . Cho X Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối mũ tham số 1 Xác định hàm mật độ của các biến ngẫu nhiên u X Y và X Y. Chứng minh U V là các biến ngẫu nhiên độc lập. Giải. Do X Y độc lập nên hàm mật độ đồng thời của X và Y là e- 0 x y neu x y 0 vái các x y khác Xét phép biến đổi u x y X uv V _ X y T v u u l-v 1 - x y và 1-v - -u Với x y 0 thì u 0 và 0 v 1. Theo Mệnh đề hàm mật độ đồng thời của U và V là fU v u v nếu u ũ và ũ V 1 vối cấc V khắc Từ đó hàm mật độ của U là -mo fư u JfU v u Y dY Jue udv ue u 0 0 nếu u ũ nếu u Ũ và hàm mật độ của V là u v du J ue-udu 1 nếu V E 0 1 0 0 nếu V Ề 0 1 Cuối cùng do fU V u v fU u .fV v nên U V độc lập. 2. Tích chập của các phân phối Bài toán . Giả sử X1 X2 là hai biến ngẫu nhiên độc lập có hàm mật độ tương ứng là f1 x và f2 x . Xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên U X Y. Giải. Xét phép biến đổi u c x y X V J Ũ 1 V X _y u _ v và 1 -1 Theo Mệnh đề hàm mật độ đồng thời của U và V là gUV u v fX Y v u - v .1 fX Y x u - x Vì X1 X2 độc lập nên hàm mật độ của U là J gU V u y d Y J x u - z dz J fj 7X2 u - x d X gU u - và hàm phân phối của U là Fu u Jgu Odt J KiOXiít -x dxdt Định nghĩa . Hàm phân phối FU u xác định như trên được gọi là tích chập của hai hàm phân phối F1 x và F2 x của các biến X1 X2 kí hiệu là F1 F2. Tích chất . F1 F2 F2 .
