Từ đó, Ví dụ . (Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức) Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(n, p).Do E(Xi) = p với mọi i = 1, 2, ., n nên Hiệp phương sai. Mệnh đề . Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì với mọi hàm Borel g, h E[g(X).h(Y)] = E[g(X)]. E[h(Y)] Định nghĩa . Hiệp phương sai của 2 biến ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu Cov(X, Y) được xác định bởi Cov(X, Y) = E[(X – E(X))(Y E(Y))] Khai triển vế phải ta nhận được Cov(X,. | Từ đó 1 ữ A 1 LL L 00 L X J J x-y dy f y-z dy dx ÓLÓ X _ 1 L P T- 4n - x2-xL dx Ứũ2 3 Ví dụ . Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B n p . Đặt 1 nếu biến cố A xuẩt hiện ở phép thử i với xác suất p 0 nếu biên cố A xuất hiện ở phép thử i với xác suất 1-p _ X fxL E X ỄE Xi Ep thì Ĩ 1 . Do E Xi p với mọi i 1 2 . n nên Ĩ 1 Hiệp phương sai Mệnh đề . Nếu X Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì với mọi hàm Borel g h E g X .h Y E g X . E h Y Định nghĩa . Hiệp phương sai của 2 biến ngẫu nhiên X và Y ký hiệu Cov X Y được xác định bởi Cov X Y E X - E X Y - E Y Khai triển vế phải ta nhận được Cov X Y E XY -E X .E Y Nếu X Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì theo Mệnh đề ta có Cov X Y 0. Tuy nhiên khẳng định ngược lại không đúng. Thật vậy cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất P X -1 PCX 0 P X 1 I ũ neu X 0 và biến ngẫu nhiên L1 nêu X 0 . Dễ thấy E X 0 và do XY 0 nên E XY 0. Như vậy Cov X Y E XY - E X E Y 0 tuy nhiên rõ ràng X Y là không độc lập. Tính chất . . Cov X Y Cov Y X . Cov X X D X Cov aX Y a Cov X Y a là hằng số. am am Cov SXpSX. sfCoy L 1 1 i ij i Phương sai của tổng các biến ngẫu nhiên Từ các tính chất trên của hiệp phương sai ta có n aa am a. D ỆXi ỄỆCov Xi Xj SD Xi s i l i l ji l i Lj l i l i j Như vậy n i a D ẸXi ED Xi 2E l l J L 1 L j a a . . Dtxd SD và nếu X1 . Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập thì 1 i-1 Ví dụ . Cho X1 . Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối với phương sai 0-2. Đặt n i-i l. Chứng minh X X
