Phân phối xác suất của hàm biến ngẫu nhiên Giả sử ta đã biết phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X và g là một hàm Borel bất kỳ. Khi đó, Y = g(X) cũng là một biến ngẫu nhiên. Ta sẽ đi xác định mối quan hệ giữa phân phối xác suất của X và của Y. 1. Trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc Định lý . Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X và Y = g(X). Giả sử giá trị của X có tính chất phân phối là các với j = 1, 2,.Khi. | T- l 1 Ấ r 1. -7 1 A 1 Ấ X 1 V Phân phôi xác suất của hàm biên ngâu nhiên Giả sử ta đã biết phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X và g là một hàm Borel bất kỳ. Khi đó Y g X cũng là một biến ngẫu nhiên. Ta sẽ đi xác định mối quan hệ giữa phân phối xác suất của X và của Y. 1. Trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc Định lý . Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X và Y g X . Giả sử xh 2 Xi3 là các . . g Xi. yt . . .A X giá trị của X có tính chất J với j 1 2 .Khi đó biến ngẫu nhiên Y sẽ có phân phối P Y yi p x X J 1 i 1 2 . Ví dụ . Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất X -1 0 1 2 P 0 3 0 1 0 2 0 4 Xác định phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên a- U 2X 1 b- V lxl Giải. a- U 2X 1 sẽ nhận các giá trị -1 1 3 5. Ta có P U -1 P X -1 0 3 P U 1 P X 0 0 1 P U 3 P X 1 0 2 P U 5 P X 2 0 4 Vậy phân phối xác suất của U là U -1 1 3 5 P 0 3 0 1 0 2 0 4 b- V 11 sẽ nhận các giá trị 0 1 2. Ta có P V 0 P X 0 0 1 P V 1 P X -1 P X 1 0 5 P V 2 P X 2 0 4 Vậy phân phối xác suất của V là V 0 1 2 P 0 1 0 5 0 4 2. Trường hợp X là biến ngẫu nhiên liên tục a. Nếu Y g X là biến ngẫu nhiên rời rạc Giả sử Y yi khi X ai bi . Khi đó P Y y i P X e a. b. b f x dx Ví dụ . Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ r 1 F z 2x2 0 nếu ịx I 1 YỚi các X khác Xác định phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y sg X 2 trong đó sể x 1 1 1 nếu X ũ nếu X Ũ Giải. Ta thấy Y là biến ngẫu nhiên rời rạc vì 1 -1 neu X -2 neu X -2 Từ đó P Y 1 P X -2 J dx j- dx 2 2 X 1 X 3 4 _ 1 -ị 1 . 1 P X -2 i- dx P Y -1 2- x
