Cùng tham khảo chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán học GTLN - GTNN giúp các em ôn tập lại các kiến thức đã học, đánh giá năng lực làm bài của mình và chuẩn bị kì thi sắp tới được tốt hơn với số điểm cao như mong muốn. | PHAN HUY KHẢI CHUYÊN DÊ BỔI DƯƠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN TRUNG HỌC Cữ SỞ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VẲ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC Chương I. cơ SỞ LÍ THUYẾT 1. BẤT ĐẲNG THÚC 1. Định nghĩa Cho hai số a và b. Ta nói rằng 1. a boa-b 0. 2. a b a - b 0. 2. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức 1. Nếu a b b c thì a c. Tính chất bắc cầu của bất đẳng thức . Chứng minh Ta có a - c a - b b - c . 1 Vì a b nên a - b 0 tương tự b - c 0 do b c . Vì thế a - b b - c 0 do tổng của hai số dương là số dương . Theo định nghĩa từ a - c 0 suy ra a c . 2. Nếu a b thì ma mb nếu m 0 ma mb nếu m 0. 3. Nếu a b c d thì a c b d. 4. Nếu a b c d thì a - c b - d. 5. Nếu a b 0vàc d 0 thì ac bd. a b 6. Nếu a b 0và0 c d tbì c d 7. Nếu a b 0 thì an bn Vn nguyên dương. 8. Nếu a b thì a2n 1 b2n 1 Vn tự nhiên. Chú ý - Chứng minh các tính chất từ 2. đến 6. đều dựa trực tiếp vào định nghĩa của bất đẳng thức và chứng minh tương tự như 1. và xin dành cho bạn đọc . - Bây giờ ta chứng minh 7. Áp dụng hằng đẳng thức quen biết xn - yn x - y xn-1 xn 2y . xyn 2 y 1 3 ta có an - bn a - b an-1 an 2b . abn 2 b 1 . Do a - b 0 vì a b còn biểu thức trong dấu ngoặc còn lại là tổng của n sô dương vì thế biểu thức ấy dương. Vì thế an - bn 0. Theo định nghĩa suy ra an bn . Tính chất 7 được chứng minh. - Chuyển sang chứng minh 8. Xét ba trường hợp sau 1. Giả sử a 0 a2n 1 0. Do a b b 0 b2n 1 0 Quỹ thừa bậc lẻ của một sô âm là sô âm a2n 1 b2n 1. 2. Giả sử a 0. Vì a b b 0. Từ a b 0 -a -b. Vậy theo 7. suy ra -a 2n 1 -b 2n 1 x -a2n 1 -b2n 1 a2n 1 b2n 1. 3. Giả sử a 0. Khi đó - Nếu b 0 thì a2n 1 0 b2n 1. - Nếu b 0 thì từ a b 0 theo 7. suy ra a2n 1 b2n 1. Tóm lại ta luôn có a2n 1 b2n 1. Tính chất 8 được chứng minh. 3. Các bất đẳng thức thông dụng . Bất đẳng thức Cô-si Cho aj a2 . an là các sô không âm. Khi đó _ a9 . L_ Ị 1- ------------ n 2. Dấu bằng xảy ra trong 1 khi và chỉ khi ax a2 . an. Chứng minh Ta sử dụng nguyên lí quy nạp toán học để chứng minh. - Với n 2 bất đẳng thức 1 có dạng a ãọ r----- A - Vaia2- 2 _ . _ 2
