Sn là tập hợp tất cả các song ánh đi từ X vào X. Khi đó Sn có đúng n! phần tử. Mỗi phần tử Sn được gọi là một hóan vị hay một phép thế trên tập hợp Xvà nó có thể được biểu diễn bởi một ma trận loại 2 x n. | Chương 3 ĐỊNH THỨC Hoán vị Cho tập hợp X Ỷ Ogồm n phần tử ta có thể đồng nhất X 1 2 . n . Đặt Sn là tập hợp tất cả các song ánh đi từ X vào X. Khi đó Sn có đúng n phần tử. Mỗi phần tử ơ GSn được gọi là một hóan vị hay một phép thế trên tập hợp X và nó có thể được biểu diễn bởi một ma trận loại 2 x n. 1 2 3 . ơtl cr 2 ơ 3 . cr trong đó ở dòng thứ nhất các phần tử của tập X được sắp xếp theo một thứ tự nào đó dòng thứ hai gồm ảnh của các phần tử tương ứng ở dòng thứ nhất qua song ánh ơ . Ví dụ Hoán vị ơGS3 xác định bởi ơ 1 2 ơ 2 3 ơ 3 1 có thể được mô tả như sau rl 2 31 2 3 1 ơ rl 3 2 2 1 3 . Định nghĩa Cho X i1 i2 . ir C 1 2 . n . Nếu ơGSn thỏa ơ i1 i2 ơ i2 i3 . ơ ir-1 ir ơ ir i1 và ơ j j Vj không thuộc X thì ta nói là một r - chu trình hay một chu trình dài r và ký hiệu bởi ơ i1 i2 . ir . Ví dụ ơ V 3 lJcó chu trình là 1 2 3 2 2 r có chu trình là r 1 3 . . Định nghĩa Hai chu trình i1 . ir và j1 . js được gọi là rời nhau nếu i1 . ir n j1 . js 0. . Định lý Mọi hoán vị ơ e đều được phân tích thành tích các chu trình rời nhau. Ví dụ p 2 3 4 5 6Ì 1 6 3 2 4 . . Định nghĩa Cho ơ ESn. Ta nói rằng i j tạo thành một nghịch thế đối với ơ nếu i - j M -ơ j 0. Nếu số các nghịch thế đối với ơ là k thì dấu của 7 ký hiệu sgn ơ là một hàm được định nghĩa bởi sgn ơ -1 k. Nếu sgn ơ 1 thì ơ được gọi là hóan vị chẵn nếu sgn ơ -1 thì ơ được gọi là hóan vị lẻ. Định thức của ma trận vuông . Định nghĩa Cho A aij EMn K . Định thức của A ký hiệu A hay det A là một phần tử trong K được xác định bởi M Íỉ ír. với ơi ơ i . Định thức của một ma trận vuông cấp n trên K thường được gọi là một định thức cấp n. - Định thức cấp 2 ữl 1 ữl 2 cỉ21 cỉ22 a11a22 - a12a21 - Định thức cấp 3 tính bằng quy tắc Sarruss
