Không gian con . Định nghĩa: Cho V là một K – không gian vectơ và W là một tập con khác trống của V. Khi đó W được gọi là một không gian con của V nếu W là một K – không gian vectơ ứng với những phép toán (+) và (.) của V khi ta hạn chế chúng lên W. . Định lý: Tập con W của không gian vectơ V là một không gian con của V khi và chỉ | Chương 4 KHÔNG GIAN VECTƠ Không gian con . Định nghĩa Cho V là một K - không gian vectơ và W là một tập con khác trống của V. Khi đó W được gọi là một không gian con của V nếu W là một K - không gian vectơ ứng với những phép toán và . của V khi ta hạn chế chúng lên W. . Định lý Tập con W ậ 0của không gian vectơ V là một không gian con của V khi và chỉ khi các điều kiện sau đây được thoả i V x y GW2 x y GW ii VữéK Vx W ơx W. . Định lý Giao của một họ bất kỳ các không gian con của V là một không con của V. Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính . Định nghĩa Cho V là một không gian vectơ trên trường K và v v1 v2 v3 . vn là các phần tử của V. Ta nói vectơ v là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ v1 v2 v3 . vn nếu tồn tại các vô hướng Of 1 a2 an eK sao cho v ữ 1v1 Cf2v2 nvn Ví dụ Cho V R3 v 5 1 3 v1 1 1 1 v2 4 2 5 v3 2 4 5 thì v 3v1 v2 - v3 . Định nghĩa Họ các vectơ v1 v2 . vn của không gian vectơ V trên trường K được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các vô hướng Of 1 Of 2 . ứii không phải tất cả đều bằng không sao cho ữ 1v1 2v2 . vivn 0 Họ vectơ không phụ tuyến tính được gọi là họ độc lập tuyến tính. Nghĩa là 2 KịVị 0 ữị 0 Vỉ l n ữ 1 . ữn Kn Chú ý i Mọi họ hữu hạn các vectơ trong đó có vectơ không đều phụ thuộc tuyến tính ii V v eV v độc lập tuyến tính khi và chỉ khi v 0 Khái niệm về không gian vectơ . Định nghĩa Ta nói tập hợp V là một không gian vectơ trên trường K hay một K _ không gian vectơ nếu V được trang bị một phép toán đại số gọi là phép cộng ký hiệu và một phép nhân vô hướng ký hiệu . thoả mãn các điều kiện sau i Tính giao hoán của phép cộng V x y GV2 x y y x ii Tính kết hợp của phép cộng v x y z EV3 x y z x y z iii Tồn tại trong V một phần tử không ký hiệu là 0 thỏa mãn V x eV x 0 x iv V x eV tồn tại một phần tử đối ký hiệu là - x thoả mãn x - x 0 v V x y GV2 V ữ K Of x y Of x Oỉ y
