Không gian con sinh bởi một tập hợp Nếu S là một tập hợp con khác rỗng của V thì họ các không gian con của V chứa S là một tập khác rỗng. Phần giao của họ những không gian con như vậy là một không gian con, không gian con này được ký hiệu là K và gọi là không gian con của V sinh ra bởi tập S. Nếu = V thì ta gọi S là tập sinh của V và ta còn nói V được sinh ra bởi tập S . Định lý: Cho. | Chương 4 KHÔNG GIAN VECTƠ TT Không gian con sinh bởi một tập hợp Nếu S là một tập hợp con khác rỗng của V thì họ các không gian con của V chứa S là một tập khác rỗng. Phần giao của họ những không gian con như vậy là một không gian con không gian con này được ký hiệu là S K và gọi là không gian con của V sinh ra bởi tập S. Nếu S V thì ta gọi S là tập sinh của V và ta còn nói V được sinh ra bởi tập S . Định lý Cho 0 SC V. Khi đó S ve vI . v Ví dụ Cho V K3 v 1 0 1 w 1 1 0 Khi đó v ũf 0 ũf ữ K và v w ttV W K ữ ị3 ữ K Cơ sở và số chiều . Định nghĩa Không gian vectơ V trên K gọi là n chiều nếu tồn tại n vectơ độc lập tuyến tính và không tồn tại một họ độc lập tuyến tính nào chứa nhiều hơn n vectơ. Vậy số chiều của không gian vectơ là số tối đại những vectơ độc lập tuyến tính. Số chiều của không gian vectơ V ký hiệu là dimV Không gian vectơ có số chiều hữu hạn gọi là không gian vectơ hữu hạn chiều. Không gian vectơ có thể tìm được vô số những vectơ độc lập tuyến tính gọi không gian vectơ vô hạn chiều. . Định nghĩa Họ n vectơ độc lập tuyến tính của một không gian vectơ n chiều gọi là một cơ sở của V. . Định lý Mọi vectơ x của không gian vectơ n chiều V đều viết được một cách duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của những vectơ cơ sở. . Định lý Nếu B . là một tập độc lập tuyến tính và sinh ra V thì B là một cơ sở của V. Ví dụ Tìm số chiều và một cơ sở của không gian lời giải của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau. Xj 4x-j - 3Xị 0 3aj 5 2 0 2 - 4a4 0 4 4 5 2 - 2 A J 3 4 0 3zj 8 2 24 Aj - 19x4 0 Giải Vì r A 2 Nên dimK SA n - r A 4 - 2 2 .V C 8rz 13 X. - 5jc4 -6a - 5 0 Xì ữ T11Ỳ V y í Tn ỳ ỹ Cho a 1 0 0 s1 8 - 6 1 0 Cho ữ 0 s2 13 - 5 0 1 Vậy một cơ sở của SA là B s1 s2 . Định lý về cơ sở không toàn vẹn Trong không gian vectơ hữu hạn chiều mọi họ độc lập tuyến tính đều có thể bổ túc thành một cơ sở. Tổng các không gian con . Định lý Cho V là K - không gian vectơ W1 và W2 là hai không gian con của V. Khi đó .
