PD PD F- XC h a n g e Vi e w F- XC h a n g e Vi e w er er ! O W N y bu to k lic C m C lic k to bu y N .c O W w .d o c u -tr a c k ! w o .d o c u -tr a c k Ch−¬ng 2. H m BiÕnPhøc cung γ(t) nèi z1 víi z2 v n»m gän trong D. Khi ®ã tham sè cung foγ(t) nèi w1 víi w2 v n»m gän trong f(D). Suy ra tËp f(D) l tËp liªn th«ng ®−êng. 3. Gi¶ sö ng−îc l¹i, h m f kh«ng liªn tôc ®Òu trªn tËp D. Khi ®ã ∃ ε 0, ∀ δ = 1/ n, ∃ zn , zn’ ∈ D : |. | cung Y t nối z1 với 2 và nằm gọn trong D. Khi đó tham số cung foy t nối w1 với w2 và nằm gọn trong f D . Suy ra tập f D là tập liên thông đuờng. 3. Giả sử nguợc lại hàm f không liên tục đều trên tập D. Khi đó 3 e 0 V ỗ 1 n 3 zn zn e D zn - zn 1 n và f zn - f zn e Do miền D compact nên có các dãy con zọ n a và zV n b. Theo giả thiết trên 3 N1 0 V n N1 a - b a - zỌ n zỌ n - z ll z ll - b 1 n Suy ra a b. Do hàm f liên tục nên 3 N2 z V n N2 f zỌ n - f zV n e Trái với giả thiết phản chứng. Đ3. Đạo hàm phức Cho hàm f D V z a f z u x y iv x y . Hàm f gọi là R - khả vi nếu phần thực u Ref và phần ảo v Imf là các hàm khả vi. Khi đó đại luợng df du idv gọi là vi phân của hàm phức f. Kí hiệu dz dx idy và dz dx - idy. Biến đổi df du i dú dx du i dv dy ặdx i ặdy dx dx dy dy dx dy 1 df . df 1 df . df df df - i dz i dz dz dz 2 dx dy 2 dx dy dz dz Hàm f gọi là C - khả vi nếu nó là R - khả vi và có các đạo hàm riêng thoả mãn điều kiện Cauchy - Riemann sau đây df du dv 0 dz dx dy du dv và - dy dx C - R Ví dụ Cho w z x - iy Ta có u x và v -y là các hàm khả vi nên hàm w là R - khả vi Tuy nhiên 1 1 vy -1 nên hàm w không phải là C - khả vi Cho hàm f D V a e D và kí hiệu Az z - a Af f z - f a . Giới hạn lim f a Az 0 Az gọi là đạo hàm của hàm f tại điểm a. ương 2. Hàm Biến Phức Giả sử hàm f là R - khả vi và Az Az eiỌ A z A z e-iỌ. Theo công thức df df Af 7 Az -F- A z o Az dz dz Chia hai vế cho Az Af df df -2i p -T- e21Ọ Y Az với Y Az 0 Az dz dz Suy ra điều kiện cần và đủ để giới hạn tổn tại không phụ thuộc vào Az là i 0 dz Tức là hàm f là C - khả vi. Từ đó suy ra định lý sau đây. Đỉnh lý Hàm phức f có đạo hàm khi và chỉ khi nó là C - khả vi. Hê quả Nếu hàm f là C - khả vi thì f z ặ i v du - i è È - i è È i dv dx dx dx dy dy dy dy dx Chứng minh Giả sử hàm f là C - khả vi. Chuyển qua giới hạn công thức df f z T-dz Kết hợp với công thức và điều kiện C - R nhận đuợc công thức trên. Nhân xét 1. Nếu các hàm u và v thuộc lớp C1 thì hàm f là R
