Tham khảo tài liệu 'giáo trình hình thành ứng dụng nguyên lý của hàm phức giải tích dạng vi phân p2', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Chương 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng Chứng minh Khai triển Taylor hàm f trong lân cận điểm a V z e B a R f z 5 cn z - a n với c0 f a lim f zn 0 n 0 Kí hiệu m a min n e z cn 0 0 Nếu m a m thì f z 5 cn z - a n z - a m 5 cm k z - a k z - a mg z n m k 0 với hàm g z giải tích trong lân cận điểm a và g a cm 0. Do đó 3 e 0 V z e B a e g z 0 Suy ra V z B a e f z z - a mg z 0 Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy m a ra. Tức là V z e B a R f z 0 Hê quả 1 Cho hàm f giải tích trên miền D. Kí hiệu Z f z e D f z 0 . Khi đó Z f D hoặc Z f có không quá đếm được phần tử. Chứng minh Kí hiệu A là các điểm tụ của tập Z f ta có A c Z f c D và tập A là tập đóng Theo định nghĩa V a e A 3 dãy zn Z f a và f zn 0 Theo định lý trên 3 e 0 V z e B a e f z 0 B a e c A tập A là tập mở. Do tập D liên thông và tập A c D vừa đóng và vừa mở nên Hoặc A 0 suy ra Z f có không quá đếm được phần tử Hoặc A D suy ra Z f D 1 Nhận xét Theo kết quả trên thì không điểm của hàm giải tích không đổng nhất bằng không luôn là không điểm cô lập. Tức là 3 R 0 V z e B a R - a f z 0 Hê quả 2 Cho các hàm f g giải tích trong miền D và dãy số zn nỄz hội tụ trên miền D đến điểm a e D. Nếu V n e z f zn g zn thì V z e D f z g z . Chứng minh Đặt h z f z - g z theo giả thiết Z h có đếm được phần tử suy ra Z h D Tức là V z e D h z f z - g z 0 ương 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng Dư Hê quả 3 Cho điểm a là không điểm của hàm f giải tích và không đổng nhất bằng không trong miền D. Khi đó 3 m e z 3 R 0 V z e B a R f z z - a m g z với g là hàm giải tích trong hình tròn B a R và g a 0. Điểm a gọi là không điểm cấp m của hàm f. Chứng minh Khai triển Taylor hàm f trong lân cận điểm a f z 2cn z - a n với co f a 0 n 0 Theo các kết quả trên điểm a là không điểm cô lập nên 3 R 0 V z e B a R - a f z 0 Theo công thức nếu m a thì V z e B a R f z 0 trái với giả thiết. Suy ra m a m e z . Tức là f z 2cn z - a n z - a m2cm k z - a k z - a mg z n m k 0 với g là hàm giải tích trong hình tròn B a R và g a cm 0 Đ5. Chuỗi Laurent Đinh lý .
