Poincaré- and Sobolev-Type Inequalities Trong sự phát triển của lý thuyết của phương trình vi phân từng phần và thiết lập các cơ sở của phân tích phần tử hữu hạn, vai trò cơ bản chơi bởi sự bất bình đẳng nhất định và nguyên tắc Variational liên quan đến chức năng và các dẫn xuất một phần của họ được biết đến. Đặc biệt, sự bất bình đẳng tách rời ban đầu do Poincaré và Sobolev và khái quát và các biến thể khác nhau của họ đã được sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu của các. | Chapter 4 Poincaré- and Sobolev-Type Inequalities Introduction In the development of the theory of partial differential equations and in establishing the foundations of the finite element analysis the fundamental role played by certain inequalities and variational principles involving functions and their partial derivatives is well known. In particular the integral inequalities originally due to Poincaré and Sobolev and their various generalizations and variants have been extensively used in the study of problems in the theory of partial differential equations and finite element analysis. Because of the dominance of such inequalities in the qualitative analysis of partial differential equations and infinite element analysis numerous studies have been made of various types of new inequalities related to Poincaré- and Sobolev-type inequalities. These investigations have achieved a diversity of desired goals. Over the years a number of papers have appeared in the literature which deals with the far-reaching generalizations extensions and variants of Poincaré and Sobolev inequalities and their various applications. This chapter deals with a number of new inequalities recently discovered in the literature which claim their origin to the inequalities of Poincaré and Sobolev. Let R be the set of real numbers and B be a bounded domain in R the -dimensional Euclidean space defined by B n 1 ai bi . For xi e R X x1 . xn is a variable point in B and dx dx1 dX . For any continuous real-valued function u x defined on B we denote by fBu x dx the -fold integral fbb fb u x1 . xn dx1 dx . The notation ị b u x1 . ti . xn dti for i 1 . we mean for i 1 it is fb u t1 x2 . xn dt1 and so on and for i it is b u x1 . x -1 t dt . For any continuous realvalued function u x defined on R we denote by j iu x1 . ti . xn dti the integral u x1 . ti . x dti i 1 . taken along the whole line 381 382 Chapter 4. Poincaré- and Sobolev-Type Inequalities through x x1 . xi . xn parallel to the xi -axis
