The Art of Error Correcting Coding phần 6

Giới hạn trên xác suất lỗi bit của một mã chập nhị phân của tốc độ k / n có thể đạt được với sự trợ giúp của CWES được mô tả trong phần trước. Đối với truyền dẫn trên một kênh đối xứng nhị phân (BSC) và truyền tải nhị phân trên một phụ trắng Gaussian tiếng ồn (AWGN) kênh (Viterbi và Omura 1979) | MODIFYING AND COMBINING CODES 127 Construction X This is a generalization of the u u v -construction Sloane et al. 1972 . Let Ci denote a linear block ni ki di code for i 1 2 3. Assume that C3 is a subcode of C2 so that n3 n2 k3 k2 and d3 d2. Assume also that the dimension of C1 is k1 k2 k3. Let gJ G3t t and G3 be the generator matrices of code C2 D C3 and subcode C3 respectively. Note that G2 is a set of coset representatives of C3 in C2 Forney 1988 . Then the code CX with generator matrix Gx is a linear block n1 n2 k1 k2 dX code with dx min d3 d1 d2 . Example Let Cl be an SPC 3 2 2 code and C2 be an SPC 4 3 2 code whose subcode is C3 a repetition 4 1 4 code. Then 0 1 G2 G3 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 and G3 1 1 1 1 . Construction X results in code CX C1 C2 C3 with generator matrix 1 0 1 1 0 0 1 G 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 and is an MLS 7 3 4 code. This code is equivalent to the code obtained from the Hamming 7 4 3 code by expurgating one message symbol as in Example . Construction X3 Extending further the idea of using coset representatives of subcodes in a code this method combines three codes one of them with two levels of coset decomposition into subcodes as follows Sloane et al. 1972 . Let C3 be a linear block n1 k3 d3 code where k3 k2 23 k1 12 23- C3 is constructed as the union of 2 23 disjoint cosets of a linear block n1 k2 d2 code C2 with k2 k1 12. In turn C2 is the union of 2 12 disjoint cosets of a linear block n1 k1 d1 code C1. Then each codeword in C3 can be written as xi yi v with v e C1 where xi is a coset representative of C2 in C3 and yi is a coset representative of C1 in C2. Let C4 and C5 be two linear block n4 23 d4 and n5 12 d5 codes respectively. The linear block n1 n4 n5 k3 dX3 code CX3 is defined as Cx3 Xi ỹi Vw z Xi ỹi V e C3 w e C4 and z e C5 and has a minimum distance dX3 min d1 d2 d4 d3 d5 . A generator matrix of CX3 is G1 GX3 G2 G3 0 G4 0 0 0 G5 128 MODIFYING AND COMBINING CODES where G0 GĨ G T and GĨ G G T are the .