Tham khảo tài liệu 'giáo trình hình thành hệ thống vận dụng đạo hàm sử dụng toán tử divergence p4', công nghệ thông tin, kỹ thuật lập trình phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Từ công thức chúng ta có ước lượng sau đây V x t e H u x t í I g x 2asVt I e-s2 ds supD g - yln Từ đó suy ra g gi - g2 0 u u - u2 0 g gi - g2 ỗ u Ui - U2 e Vậy bài toán có nghiệm duy nhất và ổn định trên H. I Ví du Giải bài toán du d 2u -x 4 và u x 0 xex dt dx2 Hàm g x xe-x thoả mãn điều kiện của định lý. Theo công thức u x t í x - 8t Wt s Wt e- s yĩ 2e4t xds VTC -í x - 8t í e dơ Wt í ơe dơ V x - 8t e4t-x với ơ s 2 Tt Đ2. Bài toán Cauchy không thuần nhất Bài toán CP1b Cho các miền D 3 H D X 3 và hàm f e C H 3 . Tìm hàm u e C H 3 thoả mãn phương trình truyền nhiệt du 2d2u a f x t với x t e Ho dt dx2 và điều kiện ban đầu u x 0 0 Đinh lý Cho hàm f e C H 3 n B D 3 và hàm v x T t là nghiệm của bài toán CPla thoả mãn v x T 0 f x T . Bài toán CPlb có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức sau đây t 1 t. Vf - T 2 r . u x t ív x T t -T dT 1 í dT íf- e 4a2 t-T d- 0 2aVn 0 -ÍVt-T Chứng minh Do hàm f e C H 3 n B D 3 nên hàm v e C2 H X 3 3 . Do đó có thể đạo hàm tích phân theo x hai lần theo t một lần. Kiểm tra trực tiếp ương 8. Phương Trình Truyền Nhiệt du f dv 2 d2v -T- It x T t-T dT v x t 0 a2 -5- x T t-T dT f x t dt 0 dt 0 dx2 a2 l u f x t và u x 0 0 dx2 Tính duy nhất và ổn định suy ra từ bài toán CP1 a. Bài toán CP1 Cho các miền D 3 H D X 3 các hàm f e C H 3 và g e C D 3 . Tìm hàm u e C H 3 thoả mãn phương trình truyền nhiệt du 2d2u TT a f x t với x t e H0 dt dx2 và điều kiện ban đầu u x 0 g x Tìm nghiệm của bài toán CP1 dưới dạng u x t ua x t ub x t trong đó ua x t là nghiệm của bài toán CPla Kết hợp các công thức và suy ra công thức sau đây. 1 Ấ x t x A u x t I g x 2aVt s e-s2ds 1 dT I f x 2aVĩ s t -T e -s2ds n y- 0 - j ÚT ĩfe i -x 2 4a2t t d 1dT I 0 -tt t -T 4T -x 2 A e 4a2T dặ Đỉnh lý Cho các hàm f e C H 3 n B D 3 và g e C D 3 n B D 3 . Bài toán CP1 có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức . . du d2u Ví du Giải bài toán a2 3t2 và u x 0 sinx dt dx2 Hàm f x t t2 g x sinx thoả mãn điều kiện của định
