Đang chuẩn bị liên kết để tải về tài liệu:
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 11
Không đóng trình duyệt đến khi xuất hiện nút TẢI XUỐNG
Tải xuống
Tài liệu tham khảo đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 11 | Së GD&§T Hµ tÜnh Trêng THPT ®øc thä §Ò thi chän häc sinh giái To¸n 11 n¨m häc 2008 - 2009 Thêi gian: 180 phót (Kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) §Ò bµi C©u 1. (2,0 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh C©u 2. (1,5 ®iÓm) Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc x, y, z kh¸c 0, ta cã: C©u 3. (2,0 ®iÓm) Cho d·y sè (un) x¸c ®Þnh bëi: T×m c«ng thøc tÝnh un theo n. C©u 4. (2,0 ®iÓm) Tæng cña m nh÷ng sè nguyªn d¬ng liªn tiÕp b»ng 2008. X¸c ®Þnh c¸c sè ®ã. C©u 5. (2,5 ®iÓm) Cho h×nh l¨ng trô tam gi¸c ABC. A’B’C’. Gäi I, J, K lÇn lît lµ t©m cña c¸c h×nh b×nh hµnh ACC’A’, BCC’B’, ABB’A’. a) Chøng minh r»ng (IJK) song song víi c¸c mÆt ®¸y. b) Chøng minh r»ng c¸c ®êng th¼ng AJ, CK, BI ®ång quy. __HÕt__ §¸p ¸n vµ thang ®iÓm C©u 1. (5 ®iÓm) C©u 2: (4 ®iÓm) Ta cã: Céng ba bÊt ®¼ng thøc trªn, ta ®îc: (1) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy cho ba sè d¬ng, ta ®îc: (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: Tõ ®ã ta cã bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh. C©u 3: Ta cã: Dù ®o¸n un = 10n + n (1) Chøng minh: Ta cã: u1 = 11 = 101 + 1 c«ng thøc (1) ®óng víi n = 1. Gi¶ sö c«ng thøc (1) ®óng víi n = k ta cã: uk = 10k + k Ta cã: uk + 1 = 10(10k + k) + 1 - 9k = 10k+1 + (k + 1). C«ng thøc (1) ®óng víi n = k + 1. VËy un = 10n + n, C©u 4. (4 ®iÓm) Gi¶ sö tæng cña m sè nguyªn d¬ng liªn tiÕp b¾t ®Çu tõ sè k b»ng 2008: k + (k + 1) + (k + 2) + + (k + m - 1) = 2008 NÕu m lÎ 2k + m - 1 ch½n. Khi ®ã: m = 251, 2k + m - 1 = 24 (kh«ng x¶y ra) NÕu m ch½n 2k + m - 1 lÎ. Ta cã: VËy c¸c sè cÇn t×m lµ 118, 119, 133. C©u 5. (3 ®iÓm) Trªn tia BI, lÊy ®iÓm H sao cho BH = a. Khi ®ã BH = AB = BC nªn ta cã: Do ®ã: MH = AM vµ NH = CN. Suy ra M, H, N th¼ng hµng, BI vu«ng gãc víi Mn t¹i H vµ MN = AM + NC. VËy V× AM = 3MD nªn §Æt NC = x, ¸p dông ®Þnh lý Pitago cho tam gi¸c vu«ng MDN, ta cã: