Tham khảo tài liệu 'bất đẳng thức giữa các đại lượng trung bình', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | bắt đẳng thức giữa các đại LƯỢNG TRUNG BÌNH Nguyễn Văn Mậu Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên ĐHQGHN Trong bài này chúng ta đề cập đến một số phương pháp chứng minh truyền thống Bất đẳng thức giữa các giá trị trung bình cộng và trung bình nhân theo ý tưởng của các toán học nổi tiếng và một số cách chứng minh đưa ra trong thời gian gần đây. Định lý 1. Giả sử aq X2 . xn ỉà các số không âm. Khi đó X1 X2 H----F xn ---- ỰXỵX2---Xn. 0 n Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Xi X2 xn 1 Quy nạp kiểu Cauchy Đây là kiểu quy nạp theo cặp hướng lên-xuống do Cauchy đề xuất vào năm 1821 Cauchy . Cours d Analyse de I Ecole Royale Polytechnique F6 partie Analyse alge brique Paris Debure 1821 để chứng minh Định lý 1. Một số người đã lợi dụng tình huống này để gọi tên bất đẳng thức 0 là Bất đẳng thức Cauchy. Tuy nhiên cho đến nay theo thông lệ quốc tế và theo các gọi của các nhà toán học thì 0 là Bất đẳng thức giữa giá trị trung bình cộng trung bình số học và trung bình nhân trung bình hình học . Từ hệ thức bậc hai uỊ úị 2uỵU2 Vu-Ị_ U2 6 R ta suy ra y xiX2 Vxi X2 không âm. 1 5 Thay X 1 22 lần lượt bằng các biến mới X1 X và g3 3 4 từ 1 ta nhận ít được X1 X2 a 3 ư 4 rxi X2 X3 24 j 2 4 L 2 2 J 2 23 4 2 2 J X1X2X3X4. 2 ư Tiếp tục quá trình như trên ta thấy bất đẳng thức 0 đúng với n 1 . và nói chung đúng với n là luỹ thừa của 2. Đây chính là quy nạp theo hướng lên trên. Bây giờ ta thực hiện quy trình quy nạp theo hướng xuống phía dưới. Ta chứng minh rằng khi bất đẳng thức 0 đúng với n n 1 thì nó cũng đúng với n 1. Thay xn trong 0 bởi ĨỊ ĩ2 -I----1- a n-Ị n 1 và giữ nguyên các biến Xi khác từ 0 ta thu được _ . X1 X2 2rn-i rzq X2 Xn-X 4-----_ ĩ--------- n 1_ n _ l iCi a 2 2 n-i n X1X2 xn-l n I -- ----------- I n 1 hay Z14-Z2 4-----Frrn_i _J_. Xi X2 4--- -2 n_i ----------- X1X2 arn-l -1 I-----1 n 1----------------------------------------------------X n 1 Rút gọn biểu thức trên ta thu được X2 4-----4- Zn-1 ---------- ----------- -------- n-ỵ xỵx2 Xn-1. n 1 Từ kết
